Czy wypukłość zestawów produkcyjnych jest konieczna dla twierdzeń o dobrobycie?

Przeczytałem, że wypukłość zbiorów produkcyjnych (na przykład nie zwiększające się zyski skali) nie jest koniecznym założeniem dla pierwszego twierdzenia o dobrobycie, ale dla drugiego twierdzenia o dobrobycie. Może źle się stało i autor próbował powiedzieć, że wypukłość nie jest konieczna dla skuteczności równowagi konkurencyjnej, ale raczej dla istnienia równowagi konkurencyjnej.

Czy mógłbyś wyjaśnić, gdzie w pierwszym i drugim twierdzeniu o dobrobycie potrzebne jest założenie wypukłych zbiorów produkcyjnych?

Wypukłość zestawu produkcyjnego nie jest rzeczywiście potrzebna do udowodnienia pierwszego twierdzenia o dobrostanie, ale do udowodnienia drugiego twierdzenia o dobrobycie. Nie jest to jednak warunek konieczny.

Można to zinterpretować jako problem istnienia. Pierwsze twierdzenie o dobrobycie dotyczy wszystkich równowag konkurencyjnych i jest trywialne, jeśli ich nie ma. Drugie twierdzenie o dobrobycie stwierdza natomiast, że dla danej efektywnej alokacji Pareto istnieje system cen i redystrybucja wyposażenia, w odniesieniu do których jest to (quasi-) równowaga.

Standardowy dowód drugiego twierdzenia o dobrobycie wykorzystuje wynik Minkowskiego na separacji nienakładających się zbiorów wypukłych przez hiperpłaszczyznę, ale możliwe jest udowodnienie wersji drugiego twierdzenia o dobrobycie jako następstwa wyniku istnienia przez miły argument ze względu na Maskin i Roberts . Argument ten jest dość prosty w przypadku gospodarki giełdowej: weź efektywną alokację Pareto jako dystrybucję wyposażenia. Jeśli istnieje równowaga konkurencyjna od tych obdarowań, każdy skończy z czymś co najmniej tak dobrym jak ich wyposażenie. Ponieważ dystrybucja wyposażenia była skuteczna, nikt nie może znaleźć czegoś lepszego. Tak więc każdy musi być obojętny na ich żądany pakiet towarów i ich wyposażenie, więc równie dobrze mogą żądać tylko ich wyposażenia. Argument ten uogólnia się na gospodarkę z produkcją.