Koszt zmienny jako suma kosztu krańcowego

W klasie dowiedzieliśmy się, że koszt zmienny jest sumą kosztu krańcowego. Mam następujące pytanie.

1. Załóżmy, że jesteś firmą maksymalizującą zysk na doskonale konkurencyjnym rynku. Koszt krańcowy to MC (qi) = 10 + qi / 4, a cena rynkowa za to wyjście wynosi P = 60 USD.

Oblicz koszty zmienne. Tak więc nauczyciel idzie do przodu i rozwiązuje problem trapezu, aby uzyskać zmienny koszt 7000 (gdy q = 200) i to w porządku. Ale dlaczego otrzymuję inną odpowiedź, gdy próbuję obliczyć sumę serii? Moja próba:

$$ VC = (10 + 1/4) + (10 + 2/4) + ... + (10 + 200/4) = 2000 + (200) (201) / 8 = 7025 $$

Najwyraźniej 7025 nie równa się 7000, więc co tu się dzieje? Myślałem też, że MC nie powinno zawierać kosztów stałych, więc równanie MC (qi) = 10 + qi / 4 jest zdefiniowane tylko wtedy, gdy qi wynosi co najmniej 1? Dzięki

Koszt zmienny można uzyskać jako sumę serii w tym przypadku ponieważ podana formuła kosztu krańcowego jest liniowa. Ale jest o wiele prostszy sposób.

Po pierwsze podejście szeregowe . Pierwszy termin Twojej serii wynosił 10 + 1/4 $, co stanowi koszt krańcowy na poziomie q = 1 $. Ignoruje to fakt, że zgodnie z formułą koszt krańcowy jest mniejszy niż ilekroć 0 qq q & lt; 1 $. Pierwszym terminem powinien być średni koszt krańcowy powyżej zakresu [0,1] $. Ponieważ koszt krańcowy na poziomie $ q = 0 $ wynosi 10 $, jest on podawany przez:

$$ (1/2) [10 + (10 + 1/4)] = 10 + 1/8 $$

Teraz pomysł kosztu krańcowego dla ilości mniejszej niż jedna jednostka może wydawać się nonsensem, jeśli myśli się o koszcie krańcowym jako dodatkowym koszcie przypisywanym jednostce krańcowej. Ale ma to sens dla dobra, które może być produkowane w ilościach, które nie są dokładną liczbą jednostek miary (np. Ciecze, proszki, mierzone w jednostkach pojemności lub objętości). W takim przypadku, biorąc pod uwagę liniowość, koszt krańcowy można zdefiniować jako $ Delta C / Delta q $, gdzie $ $ $ wskazują zmiany w koszcie $ $ i $ q $ odpowiednio i $ q $ może być mniejsza niż jedna jednostka.

Podobną logiką drugi termin w serii powinien być średnim kosztem krańcowym w przedziale $ [1,2] $, który jest:

$$ (1/2) [(10 + 1/4) + (10 + 2/4)] = 10 + 3/8 $$

Kontynuując w ten sposób aż do ostatniego terminu, który jest średnim kosztem krańcowym powyżej zakresu [199,200] $, mamy:

$$ VC = (10 + 1/8) + (10 + 3/8) kropki + (10 + 399/8) = 2000 + (100) (400) / 8 = 7000 $$

(Formuła $ (100) (400) $ pochodzi z sumowania par 100 $: 1 $ + 399 $, 3 + 397 $ itd.)

Teraz prostszy sposób . Biorąc pod uwagę liniowość, nie ma potrzeby rozważania interwałów jednej jednostki. Formuła uśredniania może być zastosowana do całego zakresu [0,200] $ jak poniżej:

$$ tekst {Koszt zmiennej = liczba jednostek x średni koszt krańcowy} $$

$$ VC = (200) (1/2) [10 + (10 + 200/4)] = (200) (35) = 7000 $$

Należy jednak zauważyć, że żadna z tych metod nie zadziałałaby, gdyby wzór kosztów krańcowych był nieliniowy. Biorąc pod uwagę nieliniową formułę, należałoby obliczyć całkę, jak pokazano w odpowiedzi Herr K.

VC nie jest dokładnie sumą MC, ale całka tego. Suma jest dyskretnym analogiem całki. Myślę, że powiedziano ci, aby pomóc w intuicyjnym zrozumieniu.

Ogólnie, rozpocznij {równanie} TC (Q) = FC + VC (Q) end {równanie} gdzie $ FC $ jest niezależny od $ Q $. Aby uzyskać MC, bierzemy pochodną TC w odniesieniu do $ Q $: rozpocznij {równanie} MC (Q) = frac {Mathrm dTC (Q)} {Mathrm dQ} = frac {Mathrm dVC (Q)} {Mathrm dQ}. end {równanie} Druga równość uzyskuje się, ponieważ różnicowanie stałej zawsze daje zero. Teraz, aby uzyskać VC z MC, potrzebujemy odwrotnej operacji różnicowania, którą jest integracja, tj. rozpocznij {równanie} VC (Q) = int_0 ^ {Q} MC (q), matematyka dq. end {równanie} W twoim przykładzie podano $ MC (Q) = 10 + frak14Q $ i Q Q = 200 $, rozpocznij {równanie} VC (200) = int_0 ^ {200} left (10+ frac14q right) matemrm dq = left.10q + frac18q ^ 2 right vert_0 ^ {200} = 10 (200) + frac { 200 ^ 2} {8} = 7000 end {równanie}