Zastosowania funkcji Trig w ekonomii?

14

Czy są jakieś zastosowania funkcji trig (np. , , ) w ekonomii? $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\tan(x)$

mathematical-economics

— EconJohn
źródło

2

Dlaczego się przejmujesz?

— Michael Greinecker,

5

@MichaelGreinecker ogólne zainteresowanie.

— EconJohn

2

Odpowiednie stats.stackexchange.com/questions/312883/...

— EconJohn

13

Główną właściwością funkcji trig jest ich cykliczność. Wtedy można by pomyśleć, że mogą być idealne do analizy szeregów czasowych, do modelowania „wahań wokół trendu”. Uważam, że powody, dla których tak naprawdę nie są używane w takich warunkach, są

1) Są to funkcje deterministyczne , więc nie pozwalają, aby fluktuacje były stochastyczne

2) Jeśli badacz chce stworzyć model, który generuje wahania (oscylacje) w górę i w dół wokół trendu, chciałby uzyskać tę właściwość na podstawie behawioralnych i innych założeń modelu. Gdyby użył funkcji wyzwalającej, z góry narzuciłby modelowi poszukiwany wynik teoretyczny.

Zamiast tego wybiera się równania różniczkowo-różnicowe. Tam otrzymujemy oscylacje (tłumione lub nie), jeśli niektóre charakterystyczne pierwiastki są złożone - i wtedy pojawiają się funkcje triggera, ale jako alternatywna reprezentacja, a nie jako bloki konstrukcyjne.

— Alecos Papadopoulos
źródło

2

Nie jestem pewien, czy zgodziłbym się z tobą. W szeregach czasowych występuje obszar zwany analizą spektralną, który polega głównie na użyciu funkcji triggera, transformaty Fouriera itp. Dowiadujesz się, że możesz rozkładać stacjonarne szeregi czasowe na sumę składowych sinusoidalnych o nieskorelowanych współczynnikach losowych.

— Stary człowiek na morzu.

3

@Anoldmaninthesea. Z pewnością i dobrze, że to zauważyliście (sugerowałbym udzielić odpowiedzi na ten temat). Jednak analiza widmowa jest wykorzystywana głównie do celów prognozowania teoretycznego, a nie do strukturalnego modelowania ekonomicznego.

— Alecos Papadopoulos

Alecos, niestety musiałbym go szczegółowo przestudiować, aby uzyskać dobrą odpowiedź. Może w weekend. : D

— Stary człowiek na morzu.

1

Wystarczy powiedzieć, że czytałem na ten temat i wiąże się to z integracją stochastyczną (rozkładem na szereg składowych sinusoidalnych), o czym nie mam pojęcia ... Pozostała część lektury stwierdzała po prostu, że analiza spektralna jest równoważna do zwykłej analizy w dziedzinie czasu, ale bez wchodzenia w szczegóły. Dodam ten komentarz, abyście wiedzieli, że nie zapomniałem i próbowałem, ale po prostu nie wiem wystarczająco dużo. ;)

— Stary człowiek na morzu.

1

@Anoldmaninthesea. Spróbuj rozdział 2 Granger i Newbold „Prognozowanie ekonomicznych szeregów czasowych” (wydanie 2). Jest to stara książka, ale pełna mądrości, realizmu i siły ekspozycyjnej (nie tylko do analizy spektralnej).

— Alecos Papadopoulos

12

$n$

— Adam Bailey
źródło

11

Wiem, że seria Fouriera jest używana w finansach i ekonometrii.

Metody transformacji Fouriera w finansach

5

Pr ({\tilde{r}}_{t}) = {[\frac{π}{2} + \tan^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{r}}_{t} - μ)^{2}} .

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

W tym celu patrz: Harris, DE (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804.

W przypadku zwrotów obliczonych jako różnica dzienników zwracane są:

Pr (l o g (r_{t})) = \frac{1}{2 σ} sech (\frac{π ({\tilde{r}}_{t} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— Dave Harris
źródło

4

Konkretny przykład tego, w jaki sposób funkcje trig (i odwrotne trig) mogą mieć zastosowanie finansowe lub ekonomiczne, znajduje się w „Analiza finansowych szeregów czasowych” Rueya S. Tsaya. Rozważ model AR (2):

r_{t} = ϕ_{0} + ϕ_{1} r_{t - 1} + ϕ_{2} r_{t - 2} + a_{t}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

Jego funkcja autokorelacji (ACF) spełnia równanie różnicy , gdzie jest operatorem przesunięcia wstecznego, tj. i . (Niektóre osoby wolą zamiast tego pisać jako operator opóźnienia). $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ $L$

Równanie charakterystyczne drugiego rzędu ma charakterystyczne pierwiastki i podane przez: $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{- 2 ϕ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

Jeśli charakterystyczne pierwiastki są prawdziwe, zachowanie jest mieszaniną dwóch wykładniczych rozkładów. Ale jeśli zamiast tego dyskryminator , wówczas charakterystyczne pierwiastki i tworzą złożoną parę sprzężoną, a wykres ACF będzie wykazywał tłumione fale sinusoidalne. Cytując Tsay: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

W zastosowaniach biznesowych i ekonomicznych ważne są złożone charakterystyczne korzenie. Powodują zachowanie cykli koniunkturalnych. Wówczas ekonomiczne modele szeregów czasowych mają charakterystyczne pierwiastki o złożonej wartości. W przypadku modelu AR (2) ... z parą pierwiastków o złożonej charakterystyce średnia długość cykli stochastycznych wynosi

$k = \frac{2 π}{\cos^{- 1} [ϕ_{1} / (2 \sqrt{- ϕ_{2}})]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
gdzie odwrotność cosinusa jest podana w radianach. Jeśli ktoś napisze skomplikowane rozwiązania jako , gdzie , to mamy , i $a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$k = \frac{2 π}{\cos^{- 1} (a / \sqrt{a^{2} + b^{2}})}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

Zauważ, że ten drugi sposób pisania ma znacznie bardziej geometryczny, intuicyjny sposób myślenia o odwrotnym cosinusie. $k$

— Silverfish
źródło

Cytowałem dosłownie Tsay „złożone charakterystyczne korzenie są ważne. Powodują one zachowanie cykli koniunkturalnych”, ponieważ uważam, że roszczenie należy traktować sceptycznie - patrz odpowiedź Alecosa, ale także np. Komentarze Stephana Kolassy tutaj . Zastanawiam się, czy książka jest nadmiernie uproszczona dla jej odbiorców (chociaż tekst na poziomie absolwenta kładzie nacisk na praktyków). Jeśli jednak długości cykli nie są stochastyczne, formuła dla jest prawdziwa.

k

$k$

— Silverfish,