Monopole są tylko matematycznym nieporozumieniem

Mały drapak po głowie (i dobry przykład, dlaczego powinniśmy uważać na notację).

Rozważ zysk maksymalizujący monopol, który rozwiązuje się po cenie

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Postępowanie według rutynowych kroków ( zobacz ten post )

dochodzimy do ważnego rezultatu, że przy cenie maksymalizującej zysk elastyczność cenowa popytu powinna być wyższa niż $1$ w wartościach bezwzględnych lub niższa niż $-1$ w kategoriach algebraicznych. Mianowicie w cenie maksymalizującej zysk, którą mamy

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Ale $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$ jest pochodną $PQ(P)$ i $PQ(P) = TR$ , łączny przychód. Więc $\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$ , krańcowy przychód i właśnie uzyskaliśmy, że przy maksymalizacji zysku i aby mieć elastyczność większą niż $1$ w wartościach bezwzględnych, musimy mieć $MR^* <0$ .

Ale teraz wiemy również, że w punkcie maksymalizacji zysku mamy $MR^*=MC^*>0$ .

Tak więc rozwiązanie nie istnieje i dlatego dochodzimy do wniosku, że monopole są tylko matematycznym nieporozumieniem.

Teraz zadałem sobie trud (?), Aby napisać ten szyderczy post, mam nadzieję, że ktoś poświęci kilkadziesiąt sekund wymaganych do napisania jasnej odpowiedzi, aby wskazać, na czym polega sztuczka.

$PQ(P)=TR$ , łączne przychody.

$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ jest pochodną w stosunku do .$PQ(P)$ $P$

$MR$ zyski krańcowe jest pochodna względem .$TR$ $Q$

Ogólnie więc$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Aby uzupełnić bezpośrednią odpowiedź @AdamBailey, celem tego postu było ostrzeżenie zainteresowanych czytelników o konsekwencjach zmiany zmiennych decyzyjnych w naszym myśleniu.

Jesteśmy przyzwyczajeni do myślenia o popycie jako „cena zależna od ilości” lub „ilość zależna od ceny”. Ale po stronie kosztów produkcji automatycznie myślimy o koszcie w zależności od ilości, a nie ceny sprzedaży.

Dlatego bycie nawet nieco żmudnym z notacją opłaca się (zapytaj chłopaków o dynamiczną optymalizację, np . Książkę Caputo ). W konkretnym przykładzie symbole , , nie ujawniają zmiennej decyzyjnej i na tym opierał się podstęp. Ale jeśli, napisaliśmy$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

wyraźnie sygnalizowalibyśmy, że naszą ostateczną zmienną decyzyjną jest cena i tak dalej

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

podczas gdy my również wyraźnie to zobaczymy

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

i dlatego prowadzi do wymogu elastyczności cenowej popytu

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

(od ). Zatem w optymalnym punkcie krańcowy przychód w odniesieniu do ilości powinien być dodatni, ale krańcowy przychód w odniesieniu do ceny powinien być ujemny.$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$