Zrozumienie budowy procesów stochastycznych

11

Widziałem procesy stochastyczne modelowane / konstruowane w następujący sposób.

Rozważmy przestrzeń prawdopodobieństwa i niech będzie (mierzalną) transformacją , której używamy do modelowania ewolucji punktu próbki w czasie. Niech będzie również losowym wektorem . Następnie proces stochastyczny $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ służy do modelowania sekwencji obserwacji za pomocą wzoru lub $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Jak mam rozumieć punkty próbki i transformację w tej konstrukcji? (Czy w niektórych przypadkach może być sekwencją wstrząsów?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Aby uzyskać więcej konkretów, jak napisałbym te dwa procesy w tym zapisie?

Proces 1: gdzie .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Proces 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
źródło

4

$S$

Dla porównania, oto zwykła definicja, powiedzmy dyskretnie, procesów:

$\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

$X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

$\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

$C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

$\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Odwołanie Ta charakterystyka / konstrukcja poprzez przesunięcie ściśle stacjonarnych szeregów czasowych jest wspomniana w Asymptotic Theory for Econometricians .

— Michał
źródło

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

1

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

1

$\omega$

$\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$

Pierwszy przykład to rozwinięcie pierwszego:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$

Jak widzieliśmy, sama operacja S jest raczej niejednoznaczna i trudna do racjonalnej interpretacji. Należy jednak zauważyć, że określa miarę zachowującą transformację, a zrobienie zdjęcia pod nią tworzy zestaw z tą samą miarą. Tak więc ta funkcja dynamika pomiaru w naszej przestrzeni stanu w czasie.

— Nikita Toropov
źródło

1

$\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Pat W.
źródło