Rozszerzone filtracje i Martingales w twierdzeniu o reprezentacji Martingale

Uwaga: To pytanie dotyczy następującego pytania o pełne rynki w ciągłym czasie . W powiązanym pytaniu odpowiedź wspomina, że pełne rynki w tym otoczeniu są wynikiem twierdzenia o reprezentacji Martingale.

Staram się zrozumieć twierdzenie twierdzenia podane w artykule w Wikipedii :

Niech być Browna na standardowym przesączono przestrzeni prawdopodobieństwa i niech być wydłużenia filtracji generowanego przez . Jeśli jest kwadratową zmienną losową całkowitą mierzalną w odniesieniu do wówczas istnieje przewidywalny proces który jest dostosowywany w odniesieniu do , tak że W konsekwencji $B_t$ $(\Omega, \mathcal F, \mathcal F_t, P)$ $\mathcal G_t$ $B$ $X$ $\mathcal G_\infty$ $C$ $\mathcal G_t$
$X = E [X] + \int_{0}^{\infty} C_{s} d B_{s} .$ $X = E[X] + \int_0^\infty C_s dB_s.$ $E [X ∣ G_{t}] = E [X] + \int_{0}^{t} C_{s} d B_{s} .$ $E[X \mid G_t] = E[X] + \int_0^t C_s dB_s.$

W tej definicji, gdzie jest związek z Martingales? Widzę, że zakłada się, że jest całką kwadratową w odniesieniu do i zakładam, że ma to coś wspólnego z faktem, że jest „rozszerzeniem filtracji generowanej przez ”. Co to jest „rozszerzenie filtracji”? $X$ $\mathcal G_\infty$ $\mathcal G_t$ $b$

finance martingales probability

— jmbejara
źródło

Wspomagania filtracji generowanego przez $B$ jest zwykle tak zwane zwiększonych filtrację i określa się w poniższej konstrukcji. Jest to bardziej powszechnie nazywane po prostu standardową filtracją Browna .

Kolekcja wszystkich zbiorów prawdopodobieństwa w polu $\mathcal{C}$ $0$ $\sigma\{B_{s} \: : \: s \leq t\}$
Kolekcja zbiorów zerowych, , wszystkich takich jak dla . Zakłada się, że dla wszystkich takich . $\mathcal{N}$ $A$ $A \subset B$ $B \in \mathcal{C}$ $\mathbb{P}(A)=0$ $A \in \mathcal{N}$

Następnie rozszerzoną filtracją ruchu Browna jest filtracja podana przez , gdzie dla każdego przyjmujemy jako najmniejsze pole sigma zawierające i . $\{\mathcal{F}_{t}\}$ $t$ $\mathcal{F}_{t}$ $\sigma\{B_{s} \: : \: s \leq t\}$ $\mathcal{N}$

Chodzi o to, aby nadać filtracji pewne właściwości, które uważa się za pomocne .

Związek z martingales polega po prostu na tym, że jest martingale. $X_{t}:=\mathbb{E}(X\:|\:\mathcal{G}_{t})$

— Rusan Kax
źródło

Zauważ, że będąc martyngałem jest równoznaczne z prawem iterowanych oczekiwań:

X_{t} \equiv E [X | G_{t}]

$X_t\equiv E[X|\mathcal{G}_t]$

E [X_{t + s} | G_{t}] = E [E [X | G_{t + s}] | G_{t}] = E [X | G_{t}] = X_{t}

$E[X_{t+s}|\mathcal{G}_t]=E[E[X|\mathcal{G}_{t+s}]|\mathcal{G}_t]=E[X|\mathcal{G}_t]=X_t$

— nominalnie sztywny