Zróżnicowanie funkcji wartości w Burdett Mortensen (1998)

Obecnie przeglądam klasyczny artykuł Burdetta i Mortensena o poszukiwaniu pracy. To, co powinno być łatwym zadaniem znalezienia wyrażenia dla płacy rezerwacyjnej, jest nieco bardziej skomplikowane przez obecność operatora maksymalnego. Mamy do czynienia z następującym równaniem Bellmana dla wartości pracy płacącej wynagrodzenie$w$. Równania Bellmana są standardowe. Wartość płatnej pracy$w$ składa się z płacy $w$ plus oczekiwany zysk z poszukiwania i znalezienia lepszej pracy zdyskontowany prawdopodobieństwem pojawienia się oferty pracy $\lambda_1$ plus strata z powodu utraty pracy, gdy praca jest niszczona według stawki $\delta$. Wartość bezrobocia$V_0$ obejmuje zasiłek dla bezrobotnych $b$ plus oczekiwany zysk z zatrudnienia zdyskontowany prawdopodobieństwem pojawienia się oferty $\lambda_0$. Pamiętaj, że prawdopodobieństwo złożenia oferty jest różne w zależności od tego, czy ktoś jest już zatrudniony, czy bezrobotny. Podział ofert podaje$F$

$$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$$ $$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$$ Ponieważ rośnie we a jest od niego niezależny, wiemy, że istnieje wynagrodzenie rezerwacyjne, więc jeśli , i . Standardowe argumenty (integracja przez części) pokazują, że stąd chciałbym pobrać pochodną pierwszego równania i rozwiązać dla . Jeśli jednak użyję reguły integracji Leibniz$V_1(w)$$w$$V_0$$w>R\implies V_1(w)>V_0$$w<R\implies V_1(w)<V_0$$V_1(R)=V_0$ $$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$$ $V_1'(w)$Potrzebuję integrand, aby był różniczkowy. Maksymalnie dwie funkcje ciągłe zwykle nie są rozróżnialne tam, gdzie są równe, więc mam problem. Jeśli założę, że integruję się ze wszystkimi to (oferty płac, które będą skłaniać pracownika do zmiany pracy), a wynik będzie następujący: Leibniz reguła. Ale w rozkładzie są płace, które nie zostaną zaakceptowane i ta pochodna nie będzie obowiązywać. Pochodna to Wyobrażam sobie czegoś mi brakuje, ale nie jestem pewien co. Gdyby ktokolwiek mógł udzielić mi porady, byłbym bardzo wdzięczny.$\tilde{x}\geq w$$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ $$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$$

Kiedy weźmiesz całkę z $\max_{\{\cdot\}}$ operator, myślę, że musisz podzielić całkę na dwie oddzielne całki z różnymi podporami.

Nawet jeśli twoja funkcja wartości jest skomplikowana i nie ma różniczkowania, potrzebujesz ciągłości tylko dla istnienia rozwiązania rozwiązania problemu optymalizacji.

Oto moja próba, w której zakładam absolutną górną granicę wsparcia $F$, $F(\overline{w})=1$, dla prostoty.

Przepisz pierwsze równanie jako

$$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$$ w wyniku czego $$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$$

Warunki $I$ i $II$ anuluj, aby aranżacja dała

$$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$$ Jeśli zastosujemy zasadę Leibniza, wiemy $$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$$ z czego wynika ostatnia równość $F(\overline{w})=1$. Rozwiązywanie dla$V_1'(w)$ daje pożądane rozwiązanie.