Udowodnij, że wariancja portfela nie może przekroczyć wariancji poszczególnych aktywów

Czytając teorię portfolio Markowitza, natknąłem się na fakt, że na rynku z dwoma ryzykownymi aktywami, jeśli niedozwolona jest krótka sprzedaż, wariancja portfela składającego się z dwóch aktywów nie może przekroczyć wariancji ryzykownych aktywów indywidualnie. To jest:

$$ {Sigma _p} ^ 2 le {{Sigma _A} ^ 2, {Sigma _B} ^ 2} $$ Gdzie A i B to dwa różne aktywa.

Czy mógłbyś uprzejmie udowodnić to stwierdzenie i ewentualnie podać jakąś intuicję, dlaczego tak się dzieje?

Niech $ w $ oznacza wagę na $ A $, aby $ 1-w $ było wagą na $ B $. Przypomnij sobie z właściwości wariancji, że

$ Sigma_p ^ 2 = w ^ 2 Sigma_A ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A Sigma_B Ho_ {AB} + (1-w) ^ 2 Sigma_B ^ 2 $

Bez utraty ogólności, załóżmy, że $ Sigma_A qq Sigma_B $. Chcemy to pokazać

$ w ^ 2 Sigma_A ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A Sigma_B Ho_ {AB} + (1-W) ^ 2 Sigma_B ^ 2 q Sigma_A ^ 2 $

Zauważ, że

$ Sigma_A ^ 2 = Sigma_A ^ 2 (w + (1-w)) ^ 2 = Sigma_A ^ 2 w ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A ^ 2 + Sigma_A ^ 2 (1-w) ^ 2 $

Ponieważ $ Sigma_A qq sigma_B $ i $ w $, $ (1-w) $ i $ sigma_A $ są dodatnie, oznacza to, że

$ Sigma_A ^ 2 geq Sigma_A ^ 2 w ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A Sigma_B + Sigma_B ^ 2 (1-W) ^ 2 $

A ponieważ korelacja ma właściwość, że $ -1 leq rho_ {AB} q 1 $ i $ w $, $ (1-w) $, $ sigma_B $ i $ sigma_A $ wszystkie są dodatnie, to musi tak będzie

$ Sigma_A ^ 2 w ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A Sigma_B + Sigma_B ^ 2 (1-W) ^ 2 geq Sigma_A ^ 2 w ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A sigma_B rho_ {AB} + sigma_B ^ 2 (1-w) ^ 2 $

W związku z tym

$ Sigma_A ^ 2 geq Sigma_A ^ 2 w ^ 2 + 2w (1-w) Sigma_A Sigma_B Ho_ {AB} + Sigma_B ^ 2 (1-w) ^ 2 $ $ kwadrat $

Słowem, patrząc na formułę wariancji wypukłej kombinacji zmiennych losowych, wariancja jest zmaksymalizowana, jeśli korelacja między zasobami wynosi 1. W tym przypadku możliwe wartości portfela jako funkcja $ w $ są segmentem linii prostej pomiędzy $ A $ i $ B $, co najwyraźniej nie może mieć wyższej wariancji niż żadna. Teraz, jeśli korelacja jest mniejsza niż 1, to dowolna kombinacja tych dwóch będzie niższa niż przypadek linii prostej.

Intuicyjnie, zwroty do aktywów $ A $ i $ B $ częściowo znoszą się nawzajem za każdym razem, gdy nie są one stałą wielokrotnością siebie. To zachowanie znoszące zmniejsza wariancję wynikowego portfela. Najgorszym scenariuszem jest to, że oba aktywa są sobie równe, więc portfel nigdy nie może mieć wyższej wariancji niż komponent o najwyższej wariancji.

Niech $ P = alfa A + (1- alfa) B $ gdzie $ A $ i $ B $ są zwrotami (losowymi) z dwóch aktywów, a $ P $ jest ich portfelem. Wariancja portfela $ P $ może być zatem zapisana jako

rozpocznij {eqnarray *} Sigma ^ 2_P i amp; = & amp; alfa ^ 2 Sigma ^ 2_A + (1- alfa) ^ 2 Sigma ^ 2_B + 2 alfa (1- alfa) tekst {Cov} (A, B) & amp; qq & amp; alfa ^ 2 Sigma ^ 2_A + (1- alfa) ^ 2 Sigma ^ 2_B + 2 alfa (1- alfa) Sigma_A Sigma_B & = & amp; (alfa Sigma_A + (1- alfa) Sigma_B) ^ 2 & amp; leq & amp; (alfa max (Sigma_A, Sigma_B) + (1- alfa) max (Sigma_A, Sigma_B)) ^ 2 & amp; = & amp; max (Sigma_A ^ 2, Sigma_B ^ 2) koniec {eqnarray *}