W logarytmicznym modelu liniowym Nowego Keynesa, co tak naprawdę oznacza

To może być dziwne pytanie, ale niestety jestem zdezorientowany terminami. Załóżmy, że nowy model keynesowski zlinearyzowany logarytmicznie, jak sugeruje Gali tutaj: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Moje pierwsze pytanie brzmi: zakłada się, że najwyraźniej stała wartość wykonuje log-linearyzację Y t , wyjścia, ale czy to Y jest wartością stałą, czy całą ścieżką stałego wyjścia? Równoważnie, czy Y dotyczy ewolucji produkcji, jeśli Y t ewoluuje bez czynników stochastycznych i błędów zgodnie z długoterminowym tempem naturalnym?$Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

Moje drugie pytanie związane z pierwszym pytaniem dotyczy tego, czy odnosi się do całkowitej produkcji lub znormalizowanej produkcji. Oznacza to, że jeśli gospodarka ma dodatnie tempo wzrostu produkcji będzie Y t rosną? Czy jest to znormalizowana wydajność, która nie zmienia się bez elementów stochastycznych?$Y_t$$Y_t$

Moje trzecie pytanie brzmi, co właściwie znaczy. Jak rozumiem, jest to po prostu log Y t . Czy to jest poprawne?$y_t$$\log Y_t$

Fakt, że istnieje równanie eulera zużycia, wydaje się potwierdzać intuicję, że jest stałą ścieżką wyjściową, a nie stałą wartością stałą, ponieważ realna stopa procentowa jest często dodatnia dla gospodarki. Moje zamieszanie narasta stąd i nie jestem pewien, czy to jest właściwe zrozumienie.$Y$

Linearyzacja logów jest przeprowadzana w sąsiedztwie stanu ustalonego przy zerowej inflacji, stałej wydajności i stałych znacznikach powyżej kosztu krańcowego, jak podano na slajdzie 11 prezentacji Gali, którą łączysz. Stąd ma być rzeczywiście wartością stałą, poziomem wyjściowym stanu ustalonego, wokół którego przeprowadzana jest linearyzacja logarytmiczna. Y t jest tylko poziomem całkowitej produkcji w okresie t , podczas gdy y t = log Y t jest wartością logiczną całkowitej produkcji, jak mówisz.$Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

Kilka dodatkowych punktów, które wydają się tutaj istotne:

• To wyprowadzenie podstawowego nowego modelu keynesowskiego odbywa się przy założeniu, że nie ma wzrostu produkcji trendu w stanie ustalonym. Możemy być tylko pewni, że równania zlinearyzowane logarytmicznie są w przybliżeniu poprawne w sytuacjach, w których jakiekolwiek odchylenie od tego stanu stacjonarnego zerowego wzrostu jest wystarczająco małe. Oczywiście, ponieważ żyjemy w świecie o wyraźnie pozytywnym wzroście trendów, jest to potencjalnie problem - więc jest to bardzo ważna kwestia z twojej strony.
• Tak się składa, że ​​uważam, że równania są bardzo podobne, gdy log-linearyzujemy wokół stanu ustalonego z dodatnim wzrostem produktywności trendu (ale zachowując założenie inflacji zerowej). W szczególności, jeśli podano je w kategoriach luki wyjściowej i naturalnej stopy procentowej, jak w równaniu Galiego (10), równanie międzyczasowe Eulera jest dokładnie takie samo (choć należy zauważyć, że naturalna stopa stanu stacjonarnego jest wyższa, gdzie g a jest logarytmicznym tempem wzrostu wydajności). Nowa keynesowska krzywa Phillipsa jest nieco nieporządna: w przypadku preferencji dziennika σ = $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$, istnieje kilka dobrych anulowań i otrzymujemy dokładnie ten sam NKPC, ale dla innych stopa dyskontowa przyszłej inflacji nie jest już β . Jest to jednak o wiele bardziej irytujące, dlatego Galí unikał tego podczas prostej prezentacji i utknął w stanie ustalonym zerowego wzrostu.$\sigma$$\beta$
• Jak wspomniano powyżej, ani , Y t , ani y t nie są „znormalizowanymi danymi wyjściowymi” jakiegokolwiek rodzaju. Jednak luka wyjściowa ˜ y t ≡ y t - y n t zdefiniowana w równaniu Galiego (7) jest skutecznie znormalizowanym wynikiem logarytmicznym, odejmując logarytmiczny „wynik naturalny” y n t , którego spodziewalibyśmy się w świecie o elastycznych cenach przy produktywności dziennika a t . W tym sensie model może uwzględniać wahania wydajności; ale jak stwierdzono powyżej, jeśli fluktuacje te są zbyt duże, logarytmizacja wokół wzrostu trendu zerowego zaczyna się załamywać, a jeśli$Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$ musimy przepisać NKPC w innej formie, aby to uwzględnić.$\sigma\neq 1$
• Wreszcie jestem nieco zdezorientowany ostatnim akapitem, ale wydaje się, że sugerujesz, że model może mieć dodatnią stopę wzrostu, „ponieważ realna stopa procentowa jest często dodatnia dla gospodarki”. Jest to nieporozumienie: rzeczywista stopa procentowa w stanie ustalonym w tym modelu jest dodatnia, ponieważ agenci w modelu mają czystą preferencję czasową, ze stopą dyskontową . Jeśli spojrzysz poniżej równania Galiego (10), zobaczysz, że gdy nie ma zmiany produktywności, „naturalna” realna stopa procentowa wynosi r n t = ρ , gdzie ρ = - log β .$\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

Poniższy post wyjaśnia w nieco łatwiejszy sposób, co dokładnie dzieje się, gdy logujemy linearyzację modelu.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

Przejrzenie podanego przykładu powinno wyjaśnić, jakie są poszczególne kroki.

Pełne ujawnienie: Nie przeczytałem notatek z wykładów, które dostarczyłeś szczególnie ostrożnie, ale myślę, że mogę odpowiedzieć na twoje pytanie.

Edycja: Heads up, nie uważnie czytając link podany w pytaniu, coś przeoczyłem.

Standardowe nowe modele keynesowskie (takie jak ten przedstawiony Gali) są modelowane bez wzrostu. Jeśli zapiszesz model, możesz przedstawić go jako równanie różnicy:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

$X$$\bar{X}$$Y$

$X_t$

$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Weź dzienniki
• Rozszerzenie Taylor pierwszego rzędu
• Algebra

Najpierw bierzemy dzienniki,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Jeśli zrobimy rozszerzenie Taylora pierwszego rzędu wokół stanu ustalonego, możemy napisać:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Możemy więc napisać:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Dwie ostatnie rzeczy. Po pierwsze, jedna subtelność, która zaskoczyła mnie, gdy po raz pierwszy przełączałem się między procentowym odchyleniem a prawdziwymi wartościami, a być może powinieneś być tego świadomy; wartości, które zwykle nie są ujemne, mogą być ujemne, ponieważ oznacza to tylko, że jest to procent poniżej stanu ustalonego. Po drugie, formy funkcjonalne zwykle upraszczają je dość dobrze, jak zapewne widzieliście w przedstawionych równaniach zlinearyzowanych logarytmicznie.

$y_t := \log Y_t$

Mam nadzieję, że to pomogło.