Kompletne rynki w czasie ciągłym

W standardowej ekonomii czasu dyskretnego ze skończoną liczbą stanów , kompletna gospodarka rynkowa jest po prostu gospodarką posiadającą niezależnych aktywów (Think Ljunqvist i Sargent, rozdział 8). Wynika to z faktu, że niezależnych aktywów jest wystarczających, aby objąć zestaw stanów jutro.$n$$n$$n$

W zeszłym tygodniu rozmawiałem z profesorem, w którym stwierdził, że jedną z udogodnień ciągłego myślenia o wycenie aktywów jest to, że w gospodarce ciągłego czasu można uzyskać pełne rynki po prostu z obligacją wolną od ryzyka i ryzykownym aktywem ( niezależne) dla każdego ruchu Browna w gospodarce.

Wyjaśnił to podczas naszej rozmowy, więc myślę, że w większości to rozumiem, ale zastanawiałem się, czy ktoś nie miałby nic przeciwko zapisaniu szczegółów?

Prawdopodobnie spędzę na tym dzień lub dwa w tym tygodniu (zależy od niektórych właściwości rachunku różniczkowego), więc jeśli nikt inny nie odpowie na pytanie, to mam nadzieję, że udzielę satysfakcjonującej odpowiedzi.

Jestem ostatnią osobą, która powinna odpowiadać na takie pytania w sposób ciągły, ale jeśli nie ma nikogo innego, chyba spróbuję. (Każda korekta mojego słabo zapamiętanego ciągłego finansowania jest bardzo pożądana).

Zawsze miałem wrażenie, że najlepiej to interpretować jako konsekwencję twierdzenia o reprezentacji martingale . Najpierw jednak luźno ustalę notację. Niech przestrzeń prawdopodobieństwa zostanie wygenerowana przez niezależnych procesów Wienera . Niech będą aktywów, gdzie wartość tego zasobu w jest dana przez . Załóżmy, że zasób jest obligacją od ryzyka , podczas gdy aktywa są ryzykowne i są napędzane przez odpowiednie : ( Z 1 t , … , Z n t ) n + 1 i t i = 0 d S 0 t = r t S 0 t d t i = 1 , … , n Z i t d S i t = μ i t d t + σ i t d Z i t$n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ Załóżmy, że istnieje ściśle pozytywny proces SDF znormalizowany do , taki że jest martingale dla każdego (w zasadzie definicja SDF) i gdzie (używam jako produkt kropkowy, co będzie wygodne).m 0 = 1 m t S i t i d m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z t$m_t$$m_0=1$$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Wreszcie, niech wymiarowy wektor będzie naszym portfelem w czasie , tak, że wartość netto jest dana przez . Załóżmy, że jest naprawiony, a ponadto mamy Teraz podam cel, który oddaje istotę kompletnych rynków. Załóżmy, że końce świata w czasie , i że chcemy netto wart równa pewnej stochastyczny , który może zależeć od pełnej historii Aż do czasu . Załóżmy, że , abyśmy mogli w świecie z kompletnymi rynkami (przyθ t t A t A t = θ t ⋅ S t A 0 d A t = θ t ⋅ d S t T A T Y T A 0 = E 0 [ m T Y ] t = 0 A 0 t = T Y θ t A T = $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$$Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$ ) skorzystać z naszej wstępnej bogactwo do zakupu czasu wypłat . W przypadku braku tych bezpośrednich kompletnych rynkach, pytanie brzmi, czy istnieje mimo to niektóre strategia dla portfela która pozwoli nam uzyskać we wszystkich krajach świata. A odpowiedź w tym kontekście brzmi „tak”.$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$$A_T=Y$

Najpierw można obliczyć . Zatem jest martingale implikuje, że jest martingale. Zatem mamy iff dla wszystkich . Zauważ, że jest to prawdą dla z założenia; dlatego, aby uzyskać równość, wystarczy udowodnić, że przyrosty są zawsze równe po obu stronach.m t S t m t A t A T = Y ⟺ m T A T = m T Y m t A t = E t [ m T Y ] t ∈ [ 0 , T ] t = $d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

Teraz pojawia się twierdzenie o reprezentacji martingale. Ponieważ jest martingale, możemy napisać dla niektórych przewidywalnych procesów . Musimy więc być w stanie pokazać . Pisanie widzimy, że potrzebujemy dla każdego ryzykownego zasobu , które możemy odwrócić, aby dać potrzebny wybór portfela : Wybór portfela aktywów bez ryzykaE t [ m T Y ] = E 0 [ m T Y ] + ∫ t 0 ϕ s ⋅ d Z s ϕ s d ( m t A t ) = ϕ t ⋅ d Z t d ( m t A t ) = ∑ i ( m $E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$można następnie wycofać z .$A_t=\theta_t\cdot S_t$

Intuicja tutaj jest prosta: musimy zawsze mieć dostosować do utrzymania równości , ale zarówno oczekiwanie na prawo i SDF po lewej stronie poruszają się w odpowiedzi do prowadzenia procesów . Stąd musimy wybrać portfel takie, że precyzyjnie kompensuje te ruchy i równanie nadal zawieszone. I zawsze możemy to zrobić tak długo, jak lokalnie, nasze aktywa obejmują wszystkie ryzyka - co może się zdarzyć bardziej ogólnie, nawet dla skorelowanych aktywów, o ile ich przyrosty są lokalnie liniowo niezależne. (Przypadek tutaj$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$ ryzykowne aktywa, które każdy drien przez niezależny ruch Browna jest szczególny.)

Chciałem to opublikować od dłuższego czasu. Natknąłem się na to i pomyślałem, że to może dodać trochę wglądu. Ten przykład pochodzi z „Teorii wyceny aktywów finansowych” Munka.

Rozważ następujący rysunek. Ile aktywów potrzebujemy, aby mieć pełny rynek?

Możesz pomyśleć, że ponieważ istnieje tutaj 6 różnych stanów, potrzebujemy co najmniej 6 różnych zasobów. W ustawieniu statycznym wiemy, że gdy mamy różnych stanów, musimy mieć „wystarczająco różnych zasobów” (w zwykłym ustawieniu statycznym oznacza to liniowo niezależny). Jednak w ustawieniu dynamicznym tak nie jest. Munk wyjaśnia to na podstawie dwóch różnych obserwacji:$N$$N$

(i) niepewność nie jest ujawniana całkowicie od razu, ale stopniowo, oraz (ii) możemy dynamicznie handlować aktywami. W tym przykładzie istnieją trzy możliwe przejścia gospodarki od czasu 0 do czasu 1. Z naszej analizy z jednego okresu wiemy, że trzy wystarczająco różne aktywa wystarczają do „rozciągnięcia” tej niepewności. Od 1 do 2 czasu są dwie, trzy lub jedna możliwa zmiana gospodarki, w zależności od tego, w jakim stanie znajduje się gospodarka w czasie 1. Co najwyżej potrzebujemy trzech wystarczająco różnych aktywów, aby poradzić sobie z niepewnością w tym okresie. W sumie możemy wygenerować dowolny proces dywidendy, jeśli tylko będziemy mieć dostęp do trzech wystarczająco różnych aktywów w obu okresach.

W przypadku ogólnej wielomianowej wersji drzewa bardziej ogólnego rynku z czasem dyskretnym w stanie skończonym, możemy dla każdego węzła w drzewie zdefiniować liczbę rozpinającą jako liczbę gałęzi poddrzewa opuszczających ten węzeł. Rynek jest wtedy kompletny, jeśli dla dowolnego węzła w drzewie liczba liniowo niezależnych aktywów będących przedmiotem obrotu w następnym okresie jest równa liczbie rozpinającej.

Teraz, w przypadku modelu czasu ciągłego, w którym niepewność jest generowana przez d-wymiarowy standardowy ruch Browna, argument jest skomplikowany, ale Munk daje pewne spostrzeżenia na podstawie poprzedniej dyskusji.

Wynik jest dość intuicyjny, biorąc pod uwagę następujące obserwacje:

1. W przypadku ciągłych zmian w jednej chwili liczą się tylko środki i wariancje.
2. Możemy zbliżyć szok wymiarowy za pomocą zmiennej losowej, która przyjmuje możliwe wartości i ma tę samą średnią i wariancję jak . Na przykład uderzenie jednowymiarowe ma średnią zero i wariancję . Dotyczy to również zmiennej losowej która jest równa z prawdopodobieństwem i jest równa z prawdopodobieństwem . ...$dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Dzięki ciągłemu obrotowi możemy w każdej chwili dostosować naszą ekspozycję na wstrząsy egzogeniczne.

W każdej chwili możemy zatem myśleć o modelu z niepewnością generowaną przez standardowy wymiar d-wymiarowy ruch Browna jako modelu dyskretnego w czasie ze stanami . Dlatego potrzeba tylko wystarczająco różnych aktywów, aby ukończyć rynek.$d+1$$d+1$