Krzywe rachunku różniczkowego i obojętności w przykładzie z ekonomii miejskiej

Czytam artykuł „ Struktura równowagi miejskiej ” Jana Bruecknera.

Wykorzystuje monocentryczny model miasta, w którym wszyscy konsumenci zarabiają w centrum miasta. Kupują q mieszkania za cenę p w odległości x od centrum, co wiąże się z kosztami transportu t x .$y$$q$$p$$x$$tx$

Konsumenci mają funkcję użyteczności:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

gdzie $\phi=x,y,t,u$

Ograniczenie budżetowe wynosi:

$c = y - tx - pq$

Warunek styczności oznacza:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

gdzie indeks dolny 1 oznacza częściowe zróżnicowanie wrt pierwszy argument itp.

Papier następnie omawia sposób i Q różnią się z x , y , t i u .$p$$q$$x, y, t$$u$

Jeśli , pozostajemy na tej samej krzywej obojętności. Uważam, że znalezienie ∂ str. Jest stosunkowo proste$\phi=x,y,t$ i∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ .$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Jeśli jest nachyleniem krzywej popytu z kompensacją dochodu, to ∂ $\eta$ .$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Teraz, mógł się różnić. Ograniczenie budżetowe odchyla się, aby spełnić nową krzywą obojętności, określając nowe p i q .$u$$p$$q$

Mogę znaleźć . Całkowicie różnicuj funkcję narzędzia wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Ponieważ przez warunek styczności :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Więc .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

Artykuł cytuje następnie:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Nie wiem jak to wywnioskować. Zgaduję, że pierwszy termin w nawiasach kwadratowych to efekt substytucji, a drugi termin to efekt dochodu.

Pomóż mi zrozumieć to ostatnie wyrażenie i jak je uzyskać.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$