Log-linearyzacja równania Eulera z terminem oczekiwanym

Dostępnych jest kilka zasobów online, które mogą pomóc w linearyzacji logów (np. Tutaj lub tutaj ). Jednak linearyzacja logów w przypadku oczekiwania jest nieco trudna, ponieważ log nie może po prostu „przejść” przez operator oczekiwania. Czy ktoś mógłby pomóc z algebrą w tym przykładzie?

Mam równanie Eulera (równanie 1) gdzie . Próbuję znaleźć wyrażenie na stopę wolną od ryzyka i wyrażenie na premię akcyjną. Jak powinienem to zrobić?

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Z drugiego linku powyżej wydaje się, że powinienem zacząć od zamiany interesujących zmiennych, takich jak . Następnie postępując zgodnie z podanymi krokami, wydaje się, że powinienem dojść do (równanie 2)$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

Ale dokąd mam iść?

EDYTOWAĆ:

1. Skopiowałem równanie 1 bezpośrednio z notatek, które mam. Prawdopodobnie jest tak, że termin po prawej stronie, , powinien być w nawiasach, . W pierwszej próbie linearyzacji logów potraktowałem to w ten sposób.$1 + R_{i,t+1}$$(1 + R_{i,t+1})$

2. W równaniu 2 wykonałem kroki instrukcji, które można znaleźć w drugim łączu na początku. Zatem i bez czasowych są tymi wartościami w stanie ustalonym.$R_i$$R_m$

3. $R_m$ to zwrot z portfela rynkowego, a to zwrot z aktywów .$R_i$$i$

EDYCJA 2:

Dzięki za przydatne komentarze. Z tego, co dotychczas zebrałem, powinienem otrzymać coś takiego:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

Oznaczałoby to, że stopa wolna od ryzyka została ustalona w następujący sposób:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

Czy to jest poprawne? A teraz, aby zakończyć pytanie, jak znaleźć premię kapitałową?

Zignorujmy na chwilę istnienie oczekiwanej wartości. Gdyby to była konfiguracja deterministyczna, linearyzacja poprzez zapisywanie logów byłaby prosta i bez sztuczek łączy dostarczonych przez PO. Biorąc dzienniki naturalne po obu stronach pierwszego równania, otrzymujemy:

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

Zestaw

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

Zauważ też, że standardowym przybliżeniem jest zapisywanie przynajmniej dla . Zwykle dzieje się tak w przypadku stóp wzrostu i stóp finansowych, które otrzymujemy$\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

która jest wyraźną relacją dynamiczną łączącą trzy obecne zmienne. Jeśli w modelu stan ustalony charakteryzuje się stałym zużyciem i stałymi zwrotami, wówczas będziemy mieli a zatem relacja stanu ustalonego będzie$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

Ale zrobiliśmy to wszystko, ignorując oczekiwaną wartość. Nasze wyrażenie to , a nie tylko . Wprowadź rozszerzenie Taylor pierwszego rzędu . Potrzebujemy centrum ekspansji. Przedstaw cztery zmienne po prostu przez (nie szkodzi, że zmienna z -index jest obecna w ). Wybieramy rozszerzenie funkcji wokół . Więc$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$$f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$$f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

Następnie

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

Oczywiście jest to przybliżenie, tzn. Zawiera błąd, nawet jeśli tylko z powodu nierówności Jensena. Ale to standardowa praktyka. Następnie widzimy, że wszystkie poprzednie prace nad wersją deterministyczną można zastosować w wersji stochastycznej, wstawiając warunkowe oczekiwane wartości zamiast zmiennych. Więc eq. jest napisane$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

Ale gdzie są wartości stanu ustalonego ? Cóż, wartości stanu ustalonego w kontekście stochastycznym są nieco trudne - czy argumentujemy, że nasze zmienne (które są teraz traktowane jako zmienne losowe) stają się stałymi ? Czy istnieje inny sposób zdefiniowania stanu ustalonego w kontekście stochastycznym?

Jest więcej niż jeden sposób. Jednym z nich jest „stan ustalony doskonałego foresightu”, w którym doskonale prognozujemy niekoniecznie stałą wartość (jest to koncepcja „równowagi jako spełnionych oczekiwań”). Jest to na przykład użyte w książce Jordi Gali wspomnianej w komentarzu. „Stan ustalony idealnego foresightu” jest zdefiniowany przez

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

Zgodnie z tą koncepcją, równ. staje się równaniem. który jest obecnie równaniem ekonomicznym „stochastycznego stanu ustalonego idealnego foresightu”.$(7)$$(3)$

Jeśli chcemy silniejszego warunku, mówiącego, że zmienne stają się stałe w stanie ustalonym, uzasadnione jest również argumentowanie, że ich prognoza w końcu będzie idealna. W takim przypadku stan ustalony gospodarki stochastycznej jest taki sam jak gospodarki deterministycznej, tj. Równ. .$(4)$

Prawidłowe przybliżenie to . Jest to obiektywne, podczas gdy nie jest. Aby to zobaczyć, projektuj na , gdzie „słupek” reprezentuje operator oczekiwania. Następnie przybliż przybliżone To przybliżenie jest dokładne, gdy jest zwykle rozkładane (według lematu Stein'a).$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

EDYTOWAĆ:

Dla wyjaśnienia zobacz, że rzutowanie na daje nam , gdzie i . Jeśli użyjemy lematu Stein'a do przybliżenia jak opisano powyżej, otrzymamy która jest bezstronna, Z drugiej strony $f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

Twój problem wygląda jak równanie wyceny aktywów z preferencjami rekurencyjnymi (Epsteina-Zina). W przypadku cen aktywów należy zachować ostrożność przy zwykłej linearyzacji „makroekonomicznej”. Takie przybliżenie jest równoważne z pewnością, co oznacza, że ​​współczynniki zlinearyzowanego rozwiązania nie zależą od wielkości wstrząsów. Ponadto wszystkie zmienne w rozwiązaniu zlinearyzowanym będą się wahać wokół ich deterministycznych stanów ustalonych. W rezultacie premia za ryzyko wynosi zero, co jest sprzeczne z celem.

Jednym z rozwiązań jest stosowanie metod perturbacji wyższego rzędu (2. rzędu, aby uzyskać stałe premie za ryzyko, 3. rzędu w przypadku premii zmieniających się w czasie). Jest to łatwe w przypadku istniejącego oprogramowania (np. Dynare), jeśli mimo wszystko chcesz rozwiązać model numerycznie (w takim przypadku nie ma również potrzeby ręcznej linearyzacji). Jeśli zamiast tego preferowane jest rozwiązanie analityczne (przybliżone), zwykłym sposobem jest linearyzacja dynamiki ilości (np. Wzrost konsumpcji), a następnie uzyskiwanie cen aktywów bezpośrednio z równania Eulera, obliczanie oczekiwań przy użyciu założenia logarytmiczności, jak w Bansal i Yaron (2004) .

Na przykład, jeśli zmienne pisane małymi literami są logami, zwykłe równanie Eulera można zapisać ponownie jako

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

Jeżeli są (warunkowo) wspólnie normalne, powyższe implikuje$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

Stawka wolna od ryzyka musi spełniać lub$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

i dlatego musimy mieć

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

Aby faktycznie obliczyć ceny aktywów, należałoby wtedy

• wyrażać log-SDF jako funkcję liniową niektórych zmiennych stanu i wstrząsów (np. wzrost zużycia logu w przypadku CRRA)

• linearyzuj zwrot pod względem stosunku dywidendy do ceny (przybliżenie Campbella-Shillera), zamień to na (1).

• wyrazić logarytmiczny stosunek D / P jako liniowy w zmiennych stanu, a następnie zastosować metodę nieokreślonych współczynników, aby uzyskać rozwiązanie spełniające (1).

W praktyce jest to nieco bardziej skomplikowane (szczególnie w przypadku preferencji EZ, gdy najpierw należy zastosować podejście, aby uzyskać zwrot z rynku, który wchodzi w SDF, a następnie drugi raz dla innych zwrotów), ale więcej szczegółów można znaleźć np. W powiązanym Bansal i Yaron papier.