Jednorodność stopnia zero i normalizacja

Jednym z pierwszych założeń jest to, że funkcja popytu jest jednorodna stopnia zero. Powód i dowód są łatwe.

Powinno być również łatwe, dlaczego oznacza to, że możemy znormalizować cenę jednego dobra do 1, ale nie widzę dokładnie, co się dzieje. Kontrprzykład byłby bardzo pomocny, tj. Funkcja o jednorodności różnej od zera pokazująca, że ​​normalizacja nie jest możliwa / prowadzi do błędnych wniosków.

Zapotrzebowanie jest rozwiązaniem problemu maksymalizacji użyteczności:$x(p, m)$

$\max\limits_{x\in\mathbb{R}^n_+} \ \ u(x) \\ \text{s.t.} \ \ p\cdot x \leq m$

gdzie to wektor ceny, a m to dochód.$p\in\mathbb{R}^n_{++}$$m$

Gdy pomnożymy obie strony powyższego ograniczenia przez i spojrzymy na zmieniony problem, otrzymujemy$\lambda > 0$

$\max\limits_{x\in\mathbb{R}^n_+} \ \ u(x) \\ \text{s.t.} \ \ \lambda p\cdot x \leq \lambda m$

Ponieważ ta operacja nie wpływa na ograniczenie, rozwiązanie pozostaje nienaruszone, tzn. Popyt zaspokoi co pokazuje, że popyt jest jednorodny o stopniu 0 w ( p , m ) . Tak jest zawsze w przypadku funkcji popytu. Biorąc pod uwagę, że p 1 > 0 , możemy przyjąć λ = $x(\lambda p, \lambda m) = x(p, m)$$(p, m)$$p_1 > 0$ i znajdźx($\lambda = \frac{1}{p_1}$aby uzyskaćx(p,m).$x\left(\frac{p}{p_1}, \frac{m}{p_1}\right)$$x(p, m)$

Warto zauważyć, że dla dowolnej funkcji która jest jednorodna stopnia k > 0 , jest tak, że f ( λ p ) = λ k f ( p ) ≠ f ( p ) dla λ ≠ 1 .$f(p)$$k > 0$$f(\lambda p) = \lambda^k f(p) \neq f(p)$$\lambda \neq 1$