Warunek transwersalności w neoklasycznym modelu wzrostu

W neoklasycznym modelu wzrostu występuje następujący warunek poprzeczności:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} ({do}_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$ gdzie jest stolicą w okresie .

k_{t + 1}

$k_{t+1}$

t

$t$

Moje pytania to:

Jak czerpiemy ten warunek?
Dlaczego tego wymagamy, jeśli chcemy wykluczyć ścieżki bez kumulacji długu?
Dlaczego mnożniki Lagrange stanowią bieżącą zdyskontowaną wartość kapitału? $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
źródło

Sprawdź te odpowiedzi, aby odróżnić warunek optymalności transwersalności od egzogenicznego ograniczenia wypłacalności , economics.stackexchange.com/a/13681/61 i economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos

W tym poście starałem się przedstawić nie-matematyczny, prosty język opis intuicji leżącej u podstaw warunku transwersalności: medium.com/@alexanderdouglas/... Nie jestem jednak makroekonomistą, więc mogłem się pomylić. Jeśli tak, mam nadzieję, że wkrótce pojawią się niektóre odpowiedzi.

— Alexander Douglas

To powinien być komentarz, ponieważ podajesz tylko link do treści zewnętrznych. Ponadto warunek transwersalności nie zależy od żadnego założenia dotyczącego kształtowania oczekiwań, ponieważ jest to warunek narzucony nawet w modelach deterministycznych, w których brak jest niepewności. I nie jest to szczególnie związane z długiem publicznym, ale ogólnie z wszelkimi aktywami. Podstawowa kwestia jest następująca: zakładając brak motywu zapisu (nie dbamy o nasze potomstwo lub społeczeństwo), nieoptymalne jest „pozostawienie” nieużywanego bogactwa. To wszystko.

— Alecos Papadopoulos

KONTAKT Jest dość prosty ze skończonym horyzontem i, jak to zwykle bywa, kiedy horyzont staje się „nieskończony”, staje się nieco mniej prosty i oczywisty.

— Alecos Papadopoulos

Odpowiedzi:

Warunek poprzeczności można łatwiej zrozumieć, jeśli zaczniemy od problemu ze skończonym horyzontem.

W standardowej wersji naszym celem jest

max_{{{do}_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T.}} \sum_{t = 0}^{T.} β^{t} u ({do}_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$ z zastrzeżeniem

\begin{aligned} fa (k_{t}) - {do}_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T. & (ograniczenie zasobów / budżetu) \\ {do}_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T. & (ograniczenie nieujemności) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$ z

k_{0}

$k_0$ dany. Powiązany Lagrangian (z mnożnikami

λ_{t}

$\lambda_t$ ,

μ_{t}

$\mu_t$ , i

ω_{t}

$\omega_t$ ) jest

max_{{{do}_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T.}} \sum_{t = 0}^{T.} β^{t} u ({do}_{t}) + λ_{t} (fa (k_{t}) - {do}_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} {do}_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$ FOC są

\begin{aligned} {do}_{t} : & β^{t} u^{'} ({do}_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T. \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} {fa}^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T. - 1 \\ (1) & k_{T. + 1} : & - λ_{T.} + ω_{T.} & = 0, T. + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ z uzupełniającymi warunkami luzu Kuhna-Tuckera: dla

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$ ,

\begin{aligned} λ_{t} (fa (k_{t}) - {do}_{t} - k_{t + 1}) & = 0 & λ_{t} & \geq 0 \\ μ_{t} {do}_{t} & = 0 & μ_{t} & \geq 0 \\ (2) & ω_{t} k_{t + 1} & = 0 & ω_{t} & \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$ Ponieważ ograniczenie zasobów musi obowiązywać we wszystkich okresach, tj

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$ dla wszystkich

t

$t$ wynika z tego w ostatnim okresie

T

$T$ ,

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$ , co z kolei implikuje

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$ .

Zwykle zakładamy $c_t>0$ dla wszystkich $t$ (warunek Inada), a to implikuje $\mu_t=0$ dla wszystkich $t$ . Staje się więc FOC konsumpcji

\begin{matrix} (3) & β^{t} u^{'} ({do}_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Patrząc na warunki $(1)$ $(2)$ i $(3)$ w ostatnim okresie $T$ rozumiemy

β^{T.} u^{'} ({do}_{T.}) k_{T. + 1} = 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$ Rozszerzając to na nieskończony horyzont, otrzymujemy warunek poprzeczności

lim_{T. \to \infty} β^{T.} u^{'} ({do}_{T.}) k_{T. + 1} = 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

Intuicja warunku poprzeczności jest częściowo taka, że „nie ma oszczędności w ostatnim okresie”. Ponieważ jednak nie ma „ostatniego okresu” w środowisku nieskończonego horyzontu, ograniczamy czas, gdy czas zmierza w nieskończoność.

— Pan K.
źródło

Moim zdaniem najlepszą pochodną jest logika. Pomyśl o tym w ten sposób: jeśli jedyną rzeczą, którą mówimy gospodarstwu domowemu, jest maksymalizacja jego użyteczności, optymalnym zachowaniem byłoby po prostu zaciąganie nieskończonego długu i konsumpcja w nieskończoność. To nie jest rozsądne rozwiązanie. Potrzebujemy zatem innego warunku optymalności. To powinno odpowiedzieć na pytanie 2.

W ograniczonym horyzoncie czasowym wykonalność zostałaby osiągnięta poprzez spłatę zadłużenia do ostatniego okresu. Nie jest to możliwe w przypadku ustawienia nieskończonego horyzontu. Jednak „wykluczenie kumulacji długu”, jak sugerujesz, jest zbyt surowym warunkiem (warunek transwersalności dopuszcza dług!).

Aby odpowiedzieć na pytanie 3, spójrzmy na ten termin $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ . Oznacza (marginalny) przyrost użyteczności (w wartościach bieżących) przesunięcia $k_{t+1}$ jednostki kapitału do okresu t i ich zużycie. Gdyby ten przyrost użyteczności był dodatni w nieskończoności, moglibyśmy zwiększyć ogólną użyteczność, konsumując więcej w „nieskończoności okresu”, dlatego nasza ścieżka kapitału nie byłaby optymalna.

Na pytanie 1: Aby wyprowadzić ten warunek, możesz albo przedstawić logiczny argument, który właśnie przedstawiłem, pokazując, że bez trzymania warunku przekrojowego ścieżka kapitału nie jest optymalna, lub, dla matematycznego dowodu, możesz sprawdzić, na przykład, Notatki Per Krusella (choć trudno to pojąć)

— Chris krawat
źródło