Preferencje homotetyczne i słaba rozdzielność

Z 3 towarami (x, y, z), liniowymi krzywymi Engela, gdzie z można oddzielić od xiy, a przy wszystkich pierwszych pochodnych są pozytywy i drugie negatywy.

Czy zapotrzebowanie na Z zmienia się wraz z ceną x lub y? Czy więc jest niezależny od $ p_ {x} $ i $ p_y $?

Myślę, że tak, ponieważ zrobiłem kilka przykładów, gdzie zmiana cen nie zmieniła optymalnej ilości z. Nie mogę jednak znaleźć formalnego dowodu.

microeconomics mathematical-economics

— Ignasi Mata Pavia
źródło

Może znowu się mylę, czy równoważne jest pytanie, czy homotetyczne preferencje oznaczają niezależne dobra? Następnie pojawia się kolejne pytanie, jak mogę obliczyć algebraicznie funkcję popytu bez definiowania funkcji użyteczności? Po otrzymaniu warunków pierwszego zamówienia i ograniczenia budżetu nie wiem, jak postępować, aby uzyskać ogólną krzywą popytu.

— Ignasi Mata Pavia

Nie jest dla mnie jasne, gdzie kończą się szczegóły twojego pytania i gdzie zaczynają się twoje własne spekulacje. Czy problem wskazuje, że $ MRS_ {xy} (x, y, z) = MRS_ {xy} (x, y, z ') $ dla wszystkich $ z, z' $ lub czy jest to coś, co podejrzewasz, że jest prawdziwe?

— denesp

Przepraszam za moje mylące pytanie. Zakłada się, że z można oddzielić od x i y. Są dwie rzeczy, słaba rozdzielność i preferencje homotetyczne. Z tego punktu chciałbym wiedzieć, czy popyt z jest niezależny od cen x i y.

— Ignasi Mata Pavia

Edytuj swoje pytanie, aby wyświetlić te informacje. (Więc inni użytkownicy nie muszą czytać komentarzy).

— denesp

EDYCJA: Wydaje się, że po ostatniej edycji odpowiedź wciąż brzmi nie. Stosunkowo prostym przykładem jest: $$ U (x, y, z) = srt {x} + srt {y} + srt {z}. $$
Jest to wyraźnie rozdzielne i homotetyczne. Ale $ D_z $ nie jest niezależny od $ p_x $ i $ p_y $. Myślę, że jest to jasne, patrząc na funkcję użyteczności, ponieważ nie jest to typ Cobba-Douglasa. Jeśli masz wątpliwości, możesz obliczyć $ D_z $ z tych równań: rozpocznij {eqnarray *} MRS_ {xz} (x, y, z) i = & amp; sqr {fr {z} {x}} = frac {p_x} {p_z} \\ MRS_ {yz} (x, y, z) & amp; = & amp; sqr {fr {z} {y}} = frac {p_y} {p_z} \\ m & amp; = & amp; p_x cdot x + p_y cdot y + p_z cdot z. koniec {eqnarray *} Następnie rozpocznij {eqnarray *} m & amp; = & amp; p_x cdot x + p_y cdot y + p_z cdot z \\ m & amp; = & amp; p_x cdot z cdot left (frac {p_z} {p_x} w prawo) ^ 2 + p_y cdot z cdot w lewo (frac {p_z} {p_y} w prawo) ^ 2 + p_z cdot z \\ \\ frac {m} {p_z} frac {1} {frac {p_z} {p_x} + frac {p_z} {p_y} + frac {p_z} {p_z}} i amp; = & amp; z. koniec {eqnarray *} Jak widać, pojawiają się zarówno $ p_x $, jak i $ p_y $.

— denesp
źródło

Dziękuję i przepraszam, znowu wprowadzałem w błąd. Zakłada się, że narzędzie jest monotoniczne i wklęsłe.

— Ignasi Mata Pavia

Funkcja użyteczności w moim kontrprzykładzie jest monotoniczna i wklęsła. Widzę w twoim pytaniu ściśle wklęsłe.

— denesp

Dziękuję Ci bardzo. Tak, oczywiście miałem na myśli ściśle wklęsłe. Byłem całkowicie w błędzie, zaczynając od funkcji Doubla Cobba było wielkim błędem; bez zwracania uwagi na inne możliwości.

— Ignasi Mata Pavia