dominacja stochastyczna drugiego rzędu bez tej samej wartości

Niech $F$ i $G$ będą dwoma rozkładami o tej samej średniej. Mówi się, że drugiego rzędu dominuje stochastycznie ( SOSD ) jeśli dla wszystkich narastających i wklęsłych . $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Powyższa definicja jest równoważna

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Powiedziano mi, że wymóg posiadania takich samych środków przez $F$ i $G$ nie jest tak naprawdę konieczny. Załóżmy, $F$ i $G$ mają nie mieć taką samą średnią. Czy możemy nadal mieć równoważność między $(1)$ a $(2)$ ?

Uwaga: byłem w stanie pokazać $(2)\Rightarrow (1)$ bez tego samego średniego warunku, ale nie na odwrót.

microeconomics probability

— Pan K.
źródło

$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
źródło