Pokaż, że funkcja złożona rośnie i jest supermodularna, biorąc pod uwagę jej składniki

Jeśli można dwukrotnie różnicować w sposób ciągły, ma nieujemny gradient i jest supermodularny, a jest dwa razy stale różnicowalne i wypukłe, a następnie rośnie i jest supermodularne $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $g(f(x))$

Aby pokazać wzrost, myślę, że możemy po prostu pokazać $\displaystyle \frac{d}{dx} g(f(x)) > 0$

\frac{d}{d x} g (f (x) = g^{'} (f (x)) f^{'} (x)

$\displaystyle \frac{d}{dx} g(f(x) = g'(f(x)) f'(x)$

Ponieważ ma nieujemny gradient , ale nie jestem pewien, jak pokazać jak podano wypukłe mówi nam $f(x)$ $f'(x) \geq 0$ $g'(f(x)) > 0$ $g''(x) > 0$

Dla supermodularności niech ; będzie nadcząsteczkowy, jeśli utrzyma się następująca nierówność: $l, l' \in \mathbb{R}^n$ $g(f(x))$

(g \circ f) (l \lor l^{'}) + (g \circ f) (l \land l^{'}) \geq (g \circ f) (l) + (g \circ f) (l^{'})

$\displaystyle (g \circ f)(l \vee l') + (g \circ f)(l \wedge l') \geq (g \circ f)(l) + (g \circ f)(l')$

Myślę, że gdybyśmy mieli , wtedy będziemy mieli równość jako i , ale nie wiem, co zrobić w pozostałych przypadkach. $l_i \leq l_i', \; \forall i$ $(g \circ f)(l \vee l') = (g \circ f)(l')$ $(g \circ f)(l \wedge l') = (g \circ f)(l)$

mathematical-economics

— Sunhwa
źródło

Nie sądzę, aby ta propozycja się utrzymywała, nie zakładając, że również rośnie. Weźmy (właściwie dowolna funkcja supermodularna) (malejące i wypukłe). Następnie który nie zwiększa się w argumentach ani nie jest supermodularny. $g$ $f(x_1,x_2)=x_1x_2$ $g(z)=-z$ $g(f(x_1,x_2))=-x_1x_2$

Jeśli założymy również, że rośnie, otrzymujemy razu. $g$ $g'(f(x))\geq 0$

Możesz łatwo wykazać supermodularność, używając warunku na drugiej pochodnej. Oznacz . Supermodularność jest równoważna funkcji f do dla dowolnego . Jeśli dwukrotnie rozróżnisz ( jest operatorem złożonym), Możesz sprawdzić, czy , aby był nadmodularny, ponieważ $x=(x_1,...,x_n)$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x) \geq 0

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\geq 0$

i \neq j

$i\ne j$

g \otimes f

$g \otimes f$

\otimes

$\otimes$

\frac{\partial^{2} g \otimes f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x) . g^{'} (f (x)) + \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) . \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (x) . g^{″} (f (x))

$\frac{\partial^2 g \otimes f}{\partial x_i \partial x_j}(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x) . g'(f(x)) + \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) .\frac{\partial f}{\partial x_j}(x) .g''(f(x))$

\frac{\partial^{2} g \otimes f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (x) \geq 0

$\frac{\partial^2 g \otimes f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\geq 0$

g \otimes f

$g \otimes f$

f

$f$ jest supermodularny, rośnie, jest wypukły.

g

$g$

g

$g$

— GuiWil
źródło