CES: Funkcja produkcji: Elastyczność substytucji

10

Muszę to udowodnić $\sigma = 1/(1 + \rho)$ dla funkcji produkcji CES:

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

Odkryłem, że muszę rozwiązać następujące równanie:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Ale po prostu nie wiem, jak przepisać to wyrażenie na $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
źródło

Sprawdź przykład produkcji Cobba Douglasa i spróbuj rozwiązać go dla CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— pojęcia

9

Funkcja produkcyjna to:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ MPL i MPK to odpowiednio:

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ Jaką szybkość l można zastąpić k?

Gdzie $f$ jest różnicowalną funkcją wartości rzeczywistej pojedynczej zmiennej, definiujemy elastyczność f (x) względem x (w punkcie x), który ma być

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Dokonaj zmiany takich zmiennych $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) i $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
Zauważ, że $v' = f'(x) / f(x)$ i $u'=\frac{1}{x}$ po to aby $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
Zauważ, że jest to również wynik, który rozwiązujesz $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ ponieważ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ które rozwiązujemy za pomocą reguły łańcucha: $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ która jest dokładnie taką definicją $\sigma(x)$ .

Teraz rozwiążmy twój problem z elastycznością.

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

Więc $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
źródło

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ i

ρ

$\rho$ można zmniejszyć z pochodnych MPL i MPK, aby uprościć ekspozycję.

— garej

0

Chciałbym dodać trochę do powyższej odpowiedzi. Wcześniej napisałem komentarz, ale pomyślałem, że lepiej będzie trochę rozwinąć argument.

Mamy firmę, która wykorzystuje dwa czynniki produkcji, robociznę $l$ i kapitał $k$ , w celu uzyskania produkcji. Ilość produkcji jest zapisywana $q$ .

Elastyczność funkcji pojedynczej zmiennej mierzy procentową odpowiedź zmiennej zależnej na procentową zmianę zmiennej niezależnej.

Z drugiej strony, elastyczność substytucji między dwoma wejściami czynników mierzy procentową odpowiedź stosunku ich ilości do procentowej zmiany względnych produktów krańcowych.

W związku z powyższym mamy do czynienia z tą elastycznością

\begin{aligned} σ \equiv \frac{re \ln (k / l)}{re \ln (M. P. L. / M. P. K.)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

gdzie $MPL$ jest krańcowym produktem pracy i $MPK$ jest krańcowym produktem kapitału.

Piszę to dlatego, że w powyższej odpowiedzi jest mały błąd. W równaniu zaraz po „Teraz rozwiążmy twój problem z elastycznością” $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ natychmiast następuje wyrażenie dla $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ przełączanie licznika za pomocą mianownika.

Jeśli to naprawisz, otrzymasz to $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$ , co jest bliskie, ale nie całkiem poprawne. Aby uzyskać poprawną odpowiedź, wykonaj dokładnie te same obliczenia, które podano w powyższej odpowiedzi

\ln k / l = \frac{1}{1 - ρ} \cdot \ln \frac{q_{l}}{q_{k}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

żeby to zdobyć $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ , w których korekty podano z powodów opisanych powyżej.

— pytania matematyczne 1
źródło