Warunek ścisłego wklęsłości Rosen

Rozważmy grę z graczy, z miejsca strategia , gdzie jest zbiór ograniczony i odtwarzacza funkcji wypłat . Warunek Rosen ( JB Rosen. Istnienie i wyjątkowość punktów równowagi dla wklęsłych gier n-person. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) dla wyjątkowości Nash Equilibrium w grze n graczy stwierdza, że równowaga będzie wyjątkowa, gdy $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

funkcja wypłaty jest wklęsła we własnej strategii $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Istnieje wektor ( taki, że funkcja jest ukośnie wklęsły $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

oznacza zbiór graczy. $N$

Aby zdefiniować pojęcie ścisłej wklęsłości diagonalnej, najpierw wprowadź „pseudogradient” funkcji , zdefiniowany za pomocą: $\sigma$ wtedy funkcjamówi sięukośnie ściśle dominującywna stałe, gdy dla każdegozachodzi:

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
źródło

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— muxamilian
źródło

Dzięki za odpowiedź! To, co piszesz, jest zasadniczo jednym z rezultatów oryginalnego artykułu Rosen. Kiedy mówię intuicję, mam na myśli, jaka właściwość strategicznej interakcji w grze jest uwarunkowana ścisłym wklęsłością? Na przykład, czy ten warunek mówi coś o tym, jak działania innych graczy wpływają na wypłatę gracza i czy jak działanie gracza i wpływa na wypłatę innych graczy w grze. Przepraszam, jeśli nie było wystarczająco jasne w pytaniu.

— Nidjsi