Quasilinear Utility: Pareto Optimality Implikuje całkowitą maksymalizację użyteczności?

Czytam, że jeśli mamy quasilinearną użyteczność dla wszystkich konsumentów, wówczas jakakolwiek pareto optymalna alokacja maksymalizuje sumę poziomów użyteczności wszystkich konsumentów. To jest:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Czy ktoś może to udowodnić? Każda pomoc byłaby bardzo mile widziana!

$\textbf{Edit:}\,$ nie wiem, czy jest to właściwa ścieżka, ale dzięki ścisłemu zwiększaniu właściwości preferencje spełniają lokalne niezadowolenie, co oznacza, że spełniają one pierwsze twierdzenie o dobrostanie. Teraz, gdybym mógł dowiedzieć się, czy wszystkie alokacje pareto optymalne są równowagami konkurencyjnymi z quasilinearną użytecznością, mógłbym coś zrobić! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
źródło

Czy na pewno pod jest taki sam jak pod ? Wydaje się, że brakuje ograniczenia budżetu / zasobów. I dzięki temu powinieneś być w stanie uzyskać to, co chcesz, sumując nierówności w (3) w stosunku do .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Herr K.

@HerrK. To doskonały punkt i dość

— żenująca pomyłka

Czy są jakieś właściwości funkcji X? Na przykład, jeśli jest ściśle rosnący, ale wklęsły, wówczas przydział PO, w którym jeden agent bierze całkowite wyposażenie, powinien dać mniejszą całkowitą użyteczność niż równomierne podzielenie tego przydziału między dwóch agentów.

— 123

@ 123 nie ma innych założeń dotyczących niż te wymienione powyżej niestety

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

Odpowiedzi:

Edycja: Skrzynie Edge są do bani; Zobacz komentarze. Zobacz także MWG rozdział 10 sekcja C, D.

Przypuszczać $(\vec x^*, \vec m^*)$ rozwiązuje

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

ale nie jest optymalna dla Pareto.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

co jest sprzecznością. Jeśli mamy rozwiązanie problemu maksymalizacji użyteczności, musi on być optymalny dla Pareto.

(Pamiętaj, że pochodzi to z ciągłych i rosnących właściwości ) $\phi(\cdot)$

Załóżmy, że jest wykonalnym optymalnym przydziałem Pareto, ale nie rozwiązuje $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Ponieważ traktujemy jako a stale rośnie, wiemy, że jest lokalnie niezadowolony. Alokacja Pareto powinna być po prostu wykonalna. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Jeśli jest to prawdą, ponieważ ten alternatywny przydział daje po prostu jednostce więcej , dla wszystkich innych równych, wówczas alternatywny przydział jest niemożliwy. Mielibyśmy więc sprzeczność. $x$

Jeśli jest to prawdą, ponieważ w alternatywnym przydziale ktoś inny otrzymuje więcej a tylko jedna inna osoba jest przydzielana mniej, wówczas pierwotny przydział nie byłby optymalny dla Pareto. Załóżmy, że tak było. Jeśli wziąłeś pierwotną alokację i przesunąłeś na sposób nowej alokacji, to potrzebujesz odpowiedniej wymiany na dobro liczbowe, , aby utrzymać kto traci co najmniej na tym samym poziomie użyteczności. Ale handel tylko dobrem liczbowym nigdy nie może zmienić sumarycznej użyteczności zagregowanej . Z pierwotnego przydziału, jeśli możesz wymienić na $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ i sprawić, by komuś było lepiej, nie raniąc nikogo, nie byłeś w optymalnej Pareto, a jeśli nie możesz zamienić na aby kogoś poprawić, nie możesz zwiększyć sumarycznej użyteczności agregatu, co oznacza, że pierwotny przydział był rozwiązanie problemu maksymalizacji. $m$ $x$

Ta logika ma zastosowanie bez względu na to, jak zmieniasz między wieloma osobami. $x$

$\square$

— Kawaleria Kitsune
źródło

Widzę, że PO zaakceptował tę odpowiedź, ale nie świadczy to o jego prawdziwej propozycji. OP twierdzi, że każda alokacja PO rozwiązuje dany problem maksymalizacji. Ten dowód pokazuje, że rozwiązaniem problemu maksymalizacji jest PO. Jednak wynik ten wynika natychmiast z faktu, że funkcja użyteczności wyjaśnia, że preferencje spełniają lokalne niezadowolenie. I wiemy, że niekoniecznie musi istnieć bijection pomiędzy punktami CE i PO Oryginalna propozycja jest prawdopodobnie fałszywa, w zależności od ograniczeń nałożonych na funkcję X. (Używanie telefonu tak trudno używać LaTex - przepraszam.)

— 123

Nie sądzę, aby ta propozycja była prawdziwa w standardowych środowiskach gospodarki opartej na czystej wymianie. Oto licznik: ekonomics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit

@Amit myślę, że masz rację. Wydaje się jednak, że stwierdzenie to zawiera dodatkowy warunek, że przydział PO jest taki, że dla wszystkich konsumentów : . Lub alternatywnie, jeśli problem dopuszcza ujemne wartości dla . W takim przypadku Twój kontrprzykład nie byłby PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard

@KitsuneCavalry Oto błąd: „Z pierwotnej alokacji, jeśli możesz wymienić na i uczynić kogoś lepszym, nie raniąc nikogo, nie byłeś w optymalnej Pareto, a jeśli nie możesz wymienić na aby zrobić komuś lepiej, nie można zwiększyć sumarycznej użyteczności agregatu ... ”lub nie można dokonać handlu, ponieważ naruszałoby to ograniczenie nieujemności. Boo, oszust! : D Oddaj 50 punktów: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Zgadzam się, że wynik zachodzi, jeśli pozwolimy, aby była dowolną liczbą rzeczywistą lub tylko ściśle dodatnią liczbą rzeczywistą dla wszystkich .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Amit

Nie sądzę, aby było to prawdą w standardowej czystej gospodarce giełdowej, do której odnosi się pytanie. Rozważ następujący kontrprzykład: Załóżmy

$I = \{1,2\}$ i oraz . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

i niech będzie zestaw możliwych do wykonania przydziałów

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Zauważ, że alokacja jest wydajna Pareto, ale nie maksymalizuje sumy narzędzi. Powodem jest to, że przydział daje wyższą sumę. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Amit
źródło

@DornerA twoje przemyślenia na ten temat?

— Giskard

Wydaje mi się, że masz na myśli następujący wynik: Każda alokacja PE maksymalizuje , ale trudno dokładnie wiedzieć, ponieważ nie jesteś konkretny wykonalność. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Pozwól, że uściślę. Dla każdego , . Alokacja to . Zestaw możliwych alokacji to . Użyteczność z to , gdzie stale rośnie. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

Definicja alokacji PE jest standardowa: to PE, jeśli tak, że dla wszystkich i dla niektórych . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Teraz twierdzę, że jeśli jest PE, to jest rozwiązaniem lub maksymalizacja w odniesieniu do , st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Nie zamierzam tutaj dowodzić tego twierdzenia, ale kluczowa idea jest prosta i wygląda następująco. Załóżmy, że to PE, ale nie rozwiązuje problemu maksymalizacji. Następnie możemy znaleźć inny możliwy taki, że . To prawda, że w , w stosunku do , przychodzą agenci w gorszej sytuacji, ale możemy użyć pieniędzy, s, aby uczynić ich równie dobrymi jak pod , i nadal pozostać z pewnymi pieniędzmi, ponieważ zwiększyliśmy sumę użyteczności pochodzącej z s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Innym sposobem na powiedzenie tego jest to, że suma użyteczności z to . Teraz każdy niepotrzebny przydział będzie miał pierwszy termin identyczny. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Jeszcze innym sposobem myślenia o tym jest to, że s określają rozmiar ciasta i pieniędzy, s, określają redystrybucję. Przez quasi-liniowość, zmniejszenie o jedną jednostkę i zwiększenie o jedną jednostkę pozostawia niezmienioną. Nie dotyczy to i . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Oznacza to również, że każdy który rozwiązuje problem maksymalizacji, to PE. $a\in F$

— Jan
źródło

Czy przeczytałeś pozostałe dwie odpowiedzi? Jeden w zasadzie stwierdza to samo. Drugi zapewnia kontrprzykład.

— Giskard

@denesp Tak. Przeczytałem odpowiedzi i mówię coś innego. Dwie odpowiedzi mówią o maksymalizacji sumy narzędzi, mówię o maksymalizacji sumy z s. W kontrprzykładzie krytycznym założeniem jest, że . Jeśli dla , to co mówię, ma zastosowanie. Które założenie jest „standardowe” jest dyskusyjne. Zostałem wychowany przez MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Jeszcze jeden komentarz, Mas-Colell, Whinston, zielony rozdział 10, zwłaszcza części C, a jeszcze bardziej szczególnie część D, są dobrym podręcznikiem do zagadnienia, o które pyta OP.

— Jan