Średnia warunkowa i liniowość

1

Średnia warunkowa dla wynosi: Jaka jest relacja do modelu liniowego? Czytałem gdzieś, że gdy X i są normalne (ich marginalne dystrybucje), następnie warunkowego średnią staje się liniową funkcją . Jak mogę to zobaczyć? $Y$ $X$

E [Y | X] = \int y f (y | x) d y

$E[Y|X]=\int yf(y|x)dy$

Y

$Y$

Y

$Y$

X

$X$

regression

— ChinG
źródło

Jeśli

i

są niezależne, twoje twierdzenie jest oczywiście fałszywe, więc zgaduję, że pominęłeś niektóre warunki.

X

$X$

Y

$Y$

— Giskard

Jeśli X i Y są niezależne, Y stałoby się stałą funkcją (po prostu średnią Y) ... Mam na myśli przypadki nie zdegenerowane .. ale dzięki

— ChinG

1

Y

$Y$

Y

$Y$

E [Y | X]

$E[Y|X]$

2

X | (Y = y) = N (μ_{x} + ρ \frac{σ_{x}}{σ_{y}} (y - μ_{y}), (1 - ρ)^{2} σ_{x}^{2})

$X | (Y = y) = N(\mu_x + \rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y - \mu_y), (1-\rho)^2 \sigma^2_x )$

$E[X|Y = y] = \mu_x + \rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y}(y - \mu_y) = (\mu_x - \mu_y (\rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y})) + (\rho \frac{\sigma_x}{\sigma_y})y$ $y$

E [Y | X = x] = (μ_{y} - μ_{x} (ρ \frac{σ_{y}}{σ_{x}})) + (ρ \frac{σ_{y}}{σ_{x}}) x

$E[Y|X = x] = (\mu_y - \mu_x (\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x})) + (\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x})x$

x

$x$

— BKay
źródło

Wielkie dzięki .. skąd masz pierwszy krok? Czy jest to właściwość normalnych dystrybucji?

— ChinG

W rzeczywistości z twojego równania wyraźnie widać, że współczynnik to po prostu cov (x, y) / var (x). Dzięki!

— ChinG

1

Jest to dobrze znane wyrażenie, ale sprawdziłem je na stronie Wikipedii en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution

— BKay

1

$(Y,X)$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

$t$

— Alecos Papadopoulos
źródło

Wielkie dzięki za odpowiedź. Dlaczego więc nawet jeśli nie mamy absolutnie żadnego powodu, aby sądzić, że Y i X mają wspólne normalne lub marginalne normalne, których trzymamy się regresji liniowej?

— ChinG