Model Solow: Steady State v Balanced Growth Path

11

Okej, więc mam prawdziwe problemy z rozróżnieniem koncepcji stanu ustalonego i ścieżki zrównoważonego wzrostu w tym modelu:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Poproszono mnie o ustalenie wartości stanu ustalonego dla kapitału na efektywnego pracownika:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Podobnie jak stały stosunek kapitału do produkcji globalnej (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Znalazłem oba z nich w porządku, ale poproszono mnie również o znalezienie „wartości krańcowej produktu krańcowego kapitału, dY / dK”. Oto co zrobiłem:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Podstawienie dla K w stanie ustalonym (obliczane przy opracowywaniu stanu ustalonego dla powyższego stosunku K / Y):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Po pierwsze muszę wiedzieć, czy to obliczenie wartości MPK stanu ustalonego jest prawidłowe?

Po drugie, poproszono mnie o naszkicowanie ścieżek czasowych wskaźnika kapitału do produkcji i krańcowego produktu kapitału, dla gospodarki, która zbiega się ze ścieżką zrównoważonego wzrostu „od dołu”.

Mam problemy ze zrozumieniem dokładnie, czym jest zrównoważona ścieżka wzrostu, w przeciwieństwie do stanu ustalonego, i jak wykorzystać moje obliczenia, aby dowiedzieć się, jak powinny wyglądać te wykresy.

Przepraszamy za gigantyczny post, każda pomoc jest mile widziana! Z góry dziękuję.

— James Baker
źródło

14

To wtedy próba dokładności powoduje zamieszanie i nieporozumienia.

Wcześniej modele wzrostu nie obejmowały postępu technologicznego i doprowadziły do równowagi długookresowej charakteryzującej się stałymi wielkościami na mieszkańca. Werbalnie termin „stan ustalony” wydawał się odpowiedni do opisania takiej sytuacji.

Potem pojawiły się modele wzrostu Romera i endogennego, które popchnęły również starsze modele do włączenia, jako rutynowej cechy egzogenicznych czynników wzrostu (oprócz populacji). I „nagle” warunki per capita nie były stałe w długookresowej równowadze, ale rosły w stałym tempie . Początkowo literatura opisywała taką sytuację jako „stan ustalony stóp wzrostu”.

Potem wydaje się, że profesja pomyślała coś w rodzaju „niedopuszczalne jest tutaj użycie słowa„ stały ”, ponieważ rosną wielkości na mieszkańca. Co się dzieje, że wszystkie wielkości rosną w zrównoważonym tempie (tj. W tym samym tempie, a więc ich proporcje pozostają stały). A ponieważ rosną, podążają ścieżką ... „Eureka !: narodził się termin„ ścieżka zrównoważonego wzrostu ”.

... Ku frustracji uczniów (przynajmniej), którzy muszą teraz pamiętać, że na przykład „ścieżka siodłowa” jest rzeczywiście ścieżką na schemacie fazowym, ale „ścieżka zrównoważonego wzrostu” to tylko punkt! (ponieważ aby narysować schemat fazowy i uzyskać dobrą starą długoterminową równowagę, wyrażamy wielkości na efektywnego pracownika, a wielkości te mają tradycyjny stan ustalony. Nadal nazywamy to „ścieżką zrównoważonego wzrostu”, ponieważ wielkości na mieszkańca, którymi jesteśmy zainteresowani, w naszym indywidualistycznym podejściu) nadal rosną).

Tak więc „zrównoważona ścieżka wzrostu” = „stały stan wielkości na jednostkę wydajności pracy”, i sądzę, że resztę można znaleźć na diagramie fazowym.

— Alecos Papadopoulos
źródło

4

Po rozmowie z użytkownikiem @denesp w komentarzach do mojej poprzedniej odpowiedzi, muszę wyjaśnić, co następuje: zwykłe urządzenie graficzne, którego używamy, związane z podstawowym modelem wzrostu Solowa (patrz na przykład tutaj , rysunek 2) nie jest schematem fazowym, ponieważ rozsądnie nazywamy „diagramy fazowe” tymi, które zawierają loci o zerowej zmianie, identyfikujemy ich punkty przecięcia jako stałe punkty układu dynamicznego i badamy ich właściwości stabilności. I nie to robimy dla modelu Solow. Więc z mojej strony nieostrożne było użycie terminologii.

Niemniej jednak możemy narysować „schemat półfazowy” dla modelu wzrostu Solowa w przestrzeni . Rozumiejąc symbole jako „na jednostkę wydajności pracy” mamy układ równań różniczkowych (podczas gdy ) $(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$ Zapisując równanie zmiany zerowej jako słabą nierówność, aby pokazać również tendencje dynamiczne, mamy

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

Tak więc ten system daje pojedyncze miejsce zmiany zera, linię prostą. Brak przejść granicznych w celu ustalenia stałego punktu Co możemy zrobić? Narysuj również funkcję produkcyjną na schemacie, ponieważ w rzeczywistości przestrzeń jest jednowymiarowa, a nie obszar, ale linia. Potem dostaniemy $(y,k)$

Strzałki pionowe / poziome wskazujące na tendencje dynamiczne pochodzą właściwie ze słabych nierówności powyżej (zarówno jak i mają tendencję do wzrostu, gdy są powyżej locus zmiany zerowej). Następnie, skoro i są ograniczone do poruszania się po linii kropkowanej (która jest funkcją produkcji), wynika z tego, że poruszają się w kierunku swojego stałego punktu, bez względu na to, od czego zaczynamy. Tutaj wykres funkcji produkcji przedstawia zasadniczo ścieżkę do równowagi długookresowej, ponieważ konwergencja jest monotoniczna. $y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
źródło