Jaki jest sens nazywania

Jaka jest różnica nazywania calculus algebrą zamiast rachunku różniczkowego? Podnoszę to pytanie, ponieważ gdzieś przeczytałem wiersz „ λ- rachunek nie jest rachunkiem, ale algebrą” (iirc, przypisane Danie Scott). O co chodzi? Dzięki.$\lambda$$\lambda$

Rachunek różniczkowy jest systemem obliczeniowym opartym na manipulowaniu wyrażeniami symbolicznymi. Algebra to system wyrażeń symbolicznych i relacji między nimi [*]. Oznacza to, że rachunek różniczkowy jest systemem do rozwiązywania odpowiedzi, a algebra jest sposobem wyrażania relacji między terminami.

$\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

$\lambda$

Tradycyjnie algebra to zestaw nośników z operacjami, które spełniają niektóre równania (pomyśl „grupa”). Istnieje wiele sposobów na uogólnienie tego pojęcia:

• $M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• $x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• $M$

$\lambda$$\beta$$\eta$

Istnieje dość precyzyjna definicja tego, czym algebra jest w teorii kategorii: zobacz na przykład ten artykuł . Kilka lat zajęło zrozumienie, w jaki sposób strukturę ze związanymi zmiennymi można zrozumieć w tym samym kontekście, co termin struktura algebry powszechnie używany w matematyce i informatyce, i okazuje się, że kategoryczne pojęcie F-algebry jest w stanie ujednolicić dwa. Nie jestem pewien historycznych aspektów rozwiązania, ale jednym z możliwych podejść jest to, że preheaf algebry wprowadzone przez Fiore, Plotkin i Turi (dostępne tutaj ) rozstrzygnęły pytanie i zachęciły do ​​różnych, ale podobnych podejść, patrz np. Hirshowitz i in. i jego doktorantka Julianna Zsido .

$\lambda$

Chociaż prawdą jest, że pojęcie „rachunku różniczkowego i całkowego” jest mniej precyzyjnie zdefiniowane niż pojęcie „algebry”, zasadniczo „rachunek różniczkowy” na ogół implikuje proces obliczeniowy, podczas gdy algebry mają wzorce konstrukcyjne z teoriami równań.
Można powiedzieć, że istnieje większe poczucie, że algebry „już istnieją” jako struktury, a my po prostu odkrywamy o nich prawdy, zamiast używać jakiejś metody do tworzenia nowych odpowiedzi, które wcześniej nie istniały.

Jeśli pomyślisz o tym, co Scott próbował osiągnąć za pomocą domen Scotta, jego wypowiedź ma sens: starał się znaleźć predefiniowane struktury matematyczne i algebraiczne, które służyłyby jako stała semantyka dla LC. Chciał pozbyć się poczucia, że ​​znaczenie terminu było tym, co wydarzyło się w wyniku określonego procesu.

Być może zainteresuje Cię poprzednia odpowiedź na powiązane pytanie: Co stanowi semantykę denotacyjną?

$\beta$$\eta$$M$$N$

Gdyby Scott kiedykolwiek nazwał rachunek lambda „algebrą” (co raczej wątpię), to zrobiłby raczej subtelny punkt, a mianowicie, że można uznać, że rachunek lambda ma znaczenie a priori .

Nadal miałby trudności z przekonaniem algebraistów o swoim twierdzeniu, ponieważ nie ma równań w rachunku lambda, ma odpowiedniki (tj. Na poziomie meta). Z drugiej strony „algebra kombinatoryczna” jest całkowicie normalna.

Nie ma czegoś takiego jak rachunek różniczkowy , ale istnieje dobrze zdefiniowany obiekt matematyczny zwany algebrą , chociaż słowo to ma wiele zastosowań . Jednak przypuszczam, że nazwa została nadana w sensie

(...) streszczenie badania systemów liczbowych i operacji w nich zawartych.

$\lambda$