Zasada Minimax Yao dotycząca algorytmów Monte Carlo

Słynny Yao Minimax Zasada stwierdza zależność między złożonością i dystrybucyjnej randomizowanym złożoności. Niech $P$ być problemu ze skończonego zbioru wejść i skończonego zbioru deterministycznego algorytmu rozwiązania . Niech także oznacza rozkład wejściowy, a niech oznacza rozkład prawdopodobieństwa na . Następnie zasada głosi: $\mathcal{X}$ $\mathcal{A}$ $P$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{A}$

min_{A \in A} E c o s t (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t (R, x) for all D and R .

$\min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost(\mathcal{R},x) \quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$ and $\mathcal{R}$}.$ Dowód ten wynika bezpośrednio z twierdzenia von Neumanna o grach o sumie zerowej.

Głównie zasada Yao dotyczy tylko algorytmów Las Vegas , ale można ją uogólnić na algorytmy Monte Carlo w następujący sposób.

\frac{1}{2} min_{A \in A} E c o s t_{2 ϵ} (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t_{ϵ} (R, x) for all D, R and ϵ \in [0, 1 / 2]

$\frac12 \min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost_{2\epsilon}(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost_{\epsilon}(\mathcal{R},x)\quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$, $\mathcal{R}$ and $\epsilon\in [0,1/2]$}$ gdzie

c o s t_{ϵ} (\cdot, \cdot)

$cost_\epsilon(\cdot,\cdot)$ oznacza koszt algorytmów Monte Carlo, które mylą prawdopodobieństwo co najwyżej

ϵ

$\epsilon$ .

W oryginalnym artykule Yao związek między algorytmami Monte Carlo podano w Twierdzeniu 3 bez dowodu. Jakaś wskazówka na potwierdzenie tego?

randomized-algorithms

— Federico Magallanez
źródło

To tylko rozszerzony komentarz do odpowiedzi Marcosa, z wykorzystaniem jego zapisu. Nie jestem w stanie śledzić szczegółów jego argumentu, a ten poniżej jest dość krótki i łatwy.

Uśredniając,

\sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) ϵ (A, x) = \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) ϵ (A, x) \leq λ .

$\sum_A{q(A)\sum_x{d(x)\epsilon(A, x)}} = \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)\epsilon(A, x)}} \leq \lambda.$

Powyższy fakt i nierówność Markowa implikują . $\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)} \geq 1/2$

Otrzymujemy więc:

\begin{aligned} max_{x} \sum_{A} q (A) r (A, x) & \geq \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) r (A, x) \\ = \sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq (\sum_{A \in β (2 λ)} q (A)) min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \end{aligned}

$\begin{align*} \max_x \sum_A{q(A)r(A,x)} &\geq \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)r(A, x)}}\\ &= \sum_A{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \left(\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)}\right) \min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \frac{1}{2}\min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}} \end{align*}$

— Sasho Nikolov
źródło

Spróbuję tego. Użyję oryginalnej notacji Yao. W ten sposób łatwiej będzie kontrastować z jego opracowaniem i jego definicjami.

Niech skończonym zestawem danych wejściowych, a będzie skończonym zestawem deterministycznych algorytmów, które mogą nie dać poprawnej odpowiedzi dla niektórych danych wejściowych. Niech także jeśli daje poprawną odpowiedź dla , a przeciwnym razie. Oznacz również przez liczbę zapytań wykonanych przez na wejściu lub równoważnie głębokość $\mathcal{I}$ $\mathcal{A}_0$ $\epsilon(A,x)=0$ $A$ $x$ $\epsilon(A,x)=1$ $r(A,x)$ $A$ $x$ $A$ drzewo decyzyjne.

Koszt średni: Biorąc pod uwagę rozkład prawdopodobieństwa na , średni koszt algorytmu wynosi . $d$ $\mathcal{I}$ $A\in \mathcal{A}_0$ $C(A,d)=\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot r(A,x)$

Złożoność dystrybucyjna: Niech . Dla dowolnego rozkładu na wejściach, niech będzie podzbiorem podanym przez $\lambda\in[0,1]$ $d$ $\beta(\lambda)$ $\mathcal{A}_0$ $\beta(\lambda)=\{A : A\in \mathcal{A}_0, \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda\}$ . Złożoność dystrybucyjna z błędem dla problemu obliczeniowego jest zdefiniowana jako . $\lambda$ $P$ $F_{1,\lambda}(P)=\max_{d} \min_{A\in \beta(\lambda)} C(A,d)$

tolerancja: $\lambda$ rozkład w rodzinie jest tolerancyjny, jeśli . $q$ $\mathcal{A}_0$ $\lambda$ $\max_{x\in \mathcal{I}} \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda$

Oczekiwany koszt: Dla algorytmu randomizowanego , niech będzie rozkładem prawdopodobieństwa, który jest tolerancyjny dla na . Przewidywane koszty z dla danego wejścia jest . $R$ $q$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$ $R$ $x$ $E(R,x)=\sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(A)\cdot r(A,x)$

Losowość złożoności: Niech . Losowa złożoność z błędem wynosi . $\lambda\in[0,1]$ $\lambda$ $F_{2,\lambda}=\min_R \max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)$

Teraz jesteśmy gotowi do rozpoczęcia działalności. To, co chcemy udowodnić, to rozkład na wejściach i losowy algorytm (tj. Rozkład na ) $d$ $R$ $q$ $\mathcal{A}_0$

Zasada minimów Yao dla algorytmów Montecarlo dla.
$max_{x \in I} E (R, x) \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} C (A, d)$ $\begin{equation}\max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)\geq \frac{1}{2}\min_{A\in \beta(2\lambda)} C(A,d) \end{equation}$ $\lambda\in[0,1/2]$

Podążę za podejściem Ficha, Meyera auf der Heide, Ragde i Wigderson (patrz Lemat 4). Ich podejście nie daje charakterystyki algorytmów Las Vegas (tylko dolna granica), ale jest wystarczające do naszych celów. Z ich dowodu łatwo zauważyć, że dla każdego i $\mathcal{A}_0$ $\mathcal{I}$

Zastrzeżenie 1. . $\max_{x\in \mathcal{I}} E(R,x)\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0} C(A,d)$

Aby uzyskać tam prawidłowe liczby, zrobimy coś podobnego. Biorąc pod uwagę, że rozkład prawdopodobieństwa podany przez randomizowany algorytm jest tolerancyjny na , mamy to $q$ $R$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$ Jeśli zastąpimy rodzinęzwidzimy, że

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in A_{0}} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in A_{0}} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in A_{0}} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} . \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{align*}$

A_{0}

$\mathcal{A}_0$

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in β (2 λ)} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\beta(2\lambda)} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \frac{1}{2}\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}, \end{align*}$

$\beta(2\lambda) \subseteq \mathcal{A}_0$ $\beta(2\lambda)$ $\lambda$

max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} .

$\begin{equation}\max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\geq\frac{1}{2} \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{equation}$

By noting that $\epsilon$ maps to $\{0,1\}$ and $r$ maps to $\mathbb{N}$ and Claim 1 above, now we can safely replace the function $\epsilon$ in the inequality above by $r(A,x)$ to obtain the desired inequality.

— Marcos Villagra
źródło

Is there a short explanation for where the factor of 2 comes from?

— Robin Kothari

in short, it comes from the definition of

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$ . The summation in the definition divided by 2 is at most

λ

$\lambda$ .

— Marcos Villagra

something seems strange to me. by definition,

max_{A \in β (2 λ))} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x), ϵ (A, x)} \leq λ

$\max_{A \in \beta(2\lambda))} \left\{\frac{1}{2} \sum_{x \in \mathcal{I}}{d(x), \epsilon(A,x)}\right\} \leq \lambda$ so why the min?

— Sasho Nikolov

and i don't understand the last sentence. how did you make an entire argument about

ϵ

$\epsilon$ and then replaced it with

r

$r$ ?

— Sasho Nikolov

regarding your first question, I added more details.

— Marcos Villagra