Czy istnieje ciągła wersja twierdzenia o równoległym powtarzaniu

Raz za Parallel twierdzenie pretition to ważny wynik w PCP, inapproximation, itd. Twierdzenie jest fomalized następująco.

Gra , gdzie S , T , A , B są zestawami skończonymi, π jest rozkładem na S × T i predykatem V : S × T × A × B → { 0 , 1 } . Określ wartość gry v ( G ) = max $G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$$\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$$\pi$$\mathcal{S}\times\mathcal{T}$$V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$ In-krotnie graGn=(Sn,Tn,An,Bn,πn

$$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$$ $n$ . Twierdzenie mówi, że jeśli v ( G ) ≤ 1 - ϵ , to v ( G n ) ≤ ( 1 - ϵ c ) Ω ( $G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$$v(G)\leq 1-\epsilon,$.$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$

Moje pytanie brzmi, co się stanie, jeśli zbiory są nieskończone, w ciągłej przestrzeni. Powiedz, czy to podzbiory przestrzeni, powiedzmy R n lub więcej przestrzeni abstrakcyjnych. Wszystkie pozostałe są takie same. Twierdzenie Raza daje tylko trywialną górną granicę 1, ponieważ rozmiary zestawów odpowiedzi są nieskończone. Oczywiście wartość n- krotnie jest górna ograniczona przez pojedynczą kopię. Czy wykładniczy spadek występuje również w przypadku ciągłym? Byłoby bardziej interesujące, aby ograniczyć H A , H B się zbiory funkcji ciągłych lub C ∞ funkcji lub funkcji mierzalnych?$\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$$R^n$$1$$n$$\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$$C^{\infty}$

Czy wykładniczy spadek występuje również w przypadku ciągłym?

Nr Feige i Verbitsky [FV02] wykazali, że dla każdego n , to gra G (z ograniczonym zestawów pytań i odpowiedzi) tak, że V ( G ) ≤3 / 4 i v ( G ⁿ ) ≥1 / 8. Ponieważ twoje sformułowanie uogólnia gry za pomocą skończonych zestawów pytań i odpowiedzi o dowolnej wielkości, równoległe powtarzanie (dowolne skończone wiele razy) nie może obniżyć wartości gry z 3/4 do 1/8.

[FV02] Uriel Feige i Oleg Verbitsky. Redukcja błędów przez równoległe powtarzanie - wynik ujemny. Combinatorica , 22 (4): 461–478, październik 2002 r. Doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 .