Zakazane nieletnie dla ograniczonych wykresów szerokości

To pytanie jest podobne do jednego z moich poprzednich pytań. Wiadomo, że jest niedozwolonym pomniejszeniem dla wykresów szerokości co najwyżej .$K_{t+2}$$t$

Czy istnieje ładnie skonstruowana, sparametryzowana, nieskończona rodzina wykresów (innych niż pełne wykresy i wykresy siatki), które są minimalnie zabronionymi nieletnimi dla wykresów o każdej szerokości. Innymi słowy, czy istnieje wyraźny wykres na wierzchołkach (który nie jest kompletnym wykresem), taki że jest niedozwolonym pomniejszeniem dla wykresów szerokości co najwyżej , gdzie jest funkcją ?$G_r$G r r r $r$$G_r$$r$$r$$t$

Komplety zakazanych nieletnich znane są z wykresów szerokości co najwyżej trzech. Więcej informacji można znaleźć w tym artykule w Wikipedii .

Czy znany jest kompletny zestaw zabronionych nieletnich wykresów szerokości grzbietu?

Jeśli G jest utworzony z mniejszego wykresu H, który nie jest kliką, przez dodanie dwóch wierzchołków x i y, tak, że xiy nie sąsiadują ze sobą, ale sąsiadują ze wszystkimi innymi wierzchołkami G, to . W przypadku, w dowolnym rozkładzie drzewa G , albo X i Y mają rozłączne poddrzewa albo zachodzą na siebie poddrzewa. Jeśli mają rozłączne poddrzewa wszystkie inne poddrzew muszą zawierać najkrótszą ścieżkę między drzewa dla X i Y , z których wynika, że treewidth jest n - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; założenie, że nie jest kliką, można następnie wykorzystać do wykazania, że n - 2 ≥ t w ( H ) + 2 . Alternatywnie, jeżeli x i y mają pokrywające poddrzewa co drugi wierzchołek musi mieć drzewo, które dotyka przecięcia dwóch poddrzewach z X i Y , i można ograniczyć rozkład drzewo tym przecięciu, otrzymując rozkład drzewa, w którym x i y uczestniczyć w każdym węźle drzewa.$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

To implikuje, że hiperkaształowy wykres z 2 k węzłów jest minimalnym niedozwolonym pomniejszeniem dla szerokości 2 k - 3 . Ponieważ wykres ośmiościenny K 2 , 2 , 2 jest minimalnym niedozwolonym pomniejszeniem dla szerokości trzy, z którego powyższy argument pokazuje, że wykres hiperkasztetowy ma szerokość 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$. A jeśli na wykresie hiperkathezy zostanie wykonane jakiekolwiek skurczenie lub usunięcie krawędzi, symetrie tego wykresu pozwalają nam założyć, że operacja dzieje się z jedną z dwunastu krawędzi w ośmiościanie podstawy, powodując jej szerokość i szerokość wszystkich hiperkaszted zbudowany z niego, aby zmniejszyć.

(Inną klasą wykresów, którą powinieneś uwzględnić w pytaniu wraz z kompletnymi wykresami, są wykresy siatki. Siatka ma szerokość r . Jest ona oddzielona od kompletnych wykresów mniejszych, ponieważ jest płaska, a zatem nie ma kompletnego pomniejszenia z więcej niż cztery wierzchołki. Nie jest to jednak minimalna niedozwolona drugorzędna, ponieważ niektóre niewielkie zmiany (takie jak kurczenie wierzchołków narożnych) nie zmieniają jej szerokości.)$r\times r$$r$

W rzadkich przeszkodach i dokładnym określeniu szerokości pleców Lucena stwierdza, że ​​w rozprawie doktorskiej Sandersa podano „mniej więcej 75 niedozwolonych nieletnich dla szerokości i uważa się, choć nie udowodniono, że może to stanowić cały zestaw przeszkód”.$\leq 4$