Pijane ptaki kontra pijane mrówki: losowe spacery między dwoma a trzema wymiarami

Powszechnie wiadomo, że losowy spacer w dwuwymiarowej siatce powróci do początku z prawdopodobieństwem 1. Wiadomo również, że ten sam losowy spacer w TRZY wymiarach ma prawdopodobieństwo mniej niż 1 powrotu do początku .

Moje pytanie brzmi:

Czy jest coś pomiędzy? Załóżmy na przykład, że moja przestrzeń była w rzeczywistości ograniczonym obszarem płaszczyzny wyciągniętej do nieskończoności w kierunku Z. (co często nazywane jest 2,5 wymiarowym). Czy obowiązują wyniki dwuwymiarowe, czy trójwymiarowe?

Pojawiło się to w dyskusjach, a jednym heurystycznym argumentem mówiącym, że zachowuje się on dwuwymiarowo, jest to, że ponieważ obszar skończony płaszczyzny zostanie ostatecznie pokryty, jedyną nietrywialną częścią marszu jest promień jednowymiarowy wzdłuż kierunku Z, a więc powrót do źródła się wydarzy.

Czy istnieją inne kształty, które interpolują między obudową dwuwymiarową i trójwymiarową?

Aktualizacja (wyciągnięta z komentarzy): podobne pytanie zostało zadane na temat MO - krótkie podsumowanie jest takie, że jeśli spacer jest równy (2 + ϵ) wymiarowy, to niepewny powrót wynika luźno z rozbieżnej serii. Jednak powyższe pytanie różni się nieco od IMO, ponieważ pytam o inne kształty, które mogą pozwolić na pewien zwrot.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
źródło

Nie wiem wiele na ten temat, ale moja myśl pojawiła się w perkolacji! Co powiesz na losowy spacer po perkolacjach? Wydaje się być kandydatem do wyników ułamkowych wymiarów dla dowolnego .

n > 1

$n > 1$

— vs

w jakim sensie masz na myśli pomiędzy? Wydaje się, że nie ma wiele pomiędzy 1 a ściśle poniżej 1; więc czy chcesz, aby pośrednie były w odniesieniu do wymiaru przestrzeni? Innymi słowy, czy jakaś odpowiedź musi być spacerem po czymś o naturalnej mierze wymiaru?

— Artem Kaznatcheev

Uwaga: podobne pytanie zostało zadane na MO: mathoverflow.net/questions/45098/... - krótkie podsumowanie jest takie, że jeśli spacer jest równy , wówczas niepewny powrót wynika luźno z rozbieżnej serii. Jednak powyższe pytanie jest nieco inne, ponieważ pytam o inne kształty, które mogą pozwolić na pewien zwrot.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

— Suresh Venkat

Losowe spacery po krzywych fraktalnych .

— Aaron Sterling

Na ograniczonym obszarze płaszczyzny wytłacza się w nieskończoność wzdłuż -działający, mamy w zasadzie do czynienia z pogrubionej linii raczej niż tuczone płaszczyźnie; jako taki, oczekiwałbym, że zachowanie będzie bliższe przypadkowi jednowymiarowemu niż przypadkowi dwuwymiarowemu.

z

$z$

— James King,

Odpowiedzi:

Prawdopodobieństwo występowania drzew i sieci według Peresa i Lyonu wspomina o tym w rozdziale 2 (strona 50):

Jednym ze sposobów, aby to zrozumieć, jest pytanie o rodzaj spacji pośrednich między i . Na przykład rozważ klin $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
gdzie jest funkcją rosnącą. Liczba krawędzi, które opuszczają jest rzędu , więc zgodnie z kryterium Nasha-Williamsa $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
jest wystarczający do ponownego wystąpienia.

— Marcin Kotowski
źródło

jest to doskonała referencja i ma ogólną technikę określania, kiedy takie spacery się rozchodzą. Miły !

— Suresh Venkat

3-D losowy spacer w przestrzeni 3x3x3 (jak kostka rubika) ma prawdopodobieństwo mniej niż jednego powrotu do początku, jeśli spacer zaczyna się na zewnątrz; ale przestrzeń 2x2x2 to jedna, podobnie jak przestrzeń 3x3x3 z punktem początkowym w środku. Wygląda więc na to, że istnieją pewne kształty pośrednie, ale może nie bardzo wiele.

— Xpda
źródło

Ale toroid jest dwuwymiarowy. Nie wydaje mi się zaskakujące, że powróciłby do punktu wyjścia. Wygląda na specjalny przypadek 2D.

— John Moeller

I ograniczony! Powrót do początku powinien być jeszcze łatwiejszy niż w samolocie.

— Derrick Stolee,

Ups, masz rację. Zmienię go na inny kształt.

— xpda,