Ograniczanie wpisów operatorów jednolitych do liczb rzeczywistych i uniwersalnych zestawów bramek

W Bernsteina i Vazirani w przełomowej pracy „Quantum Theory Complexity”, pokazują, że $d$ wymiarowa przekształcenie unitarne można skutecznie przybliżony przez iloczyn co nazywają „w pobliżu trywialna obroty” i „przesunięcia fazowe niemal trywialne”.

„Near-trywialne obrotów” oznaczają wymiarową jednolity macierzy, które działają jako identyczności na wszystkich jednak 2 wymiarach, lecz działają jako obrót w płaszczyźnie trwała w tych dwóch wymiarach (to znaczy ma podmatrycę 2x2 postaci:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

dla niektórych ).$\theta$

„Niemal trywialne przesunięcia fazowe” są macierzami jednowymiarowymi które działają jak tożsamość we wszystkich wymiarach oprócz 1, ale stosują współczynnik dla niektórych w tym jednym wymiarze.e i θ$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Ponadto pokazują, że potrzebny jest tylko jeden kąt obrotu (zarówno dla jednostek obrotu, jak i przesunięcia fazowego), biorąc pod uwagę, że kąt jest irracjonalną wielokrotnością (BV ustawił kąt na .2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 $2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

Kolejne prace na temat teorii złożoności kwantowej (takie jak Adleman i in. Lub Fortnow i Rogers) twierdzą, że wynik BV sugeruje, że uniwersalne obliczenia kwantowe można wykonać za pomocą operatorów jednostkowych, których wpisy znajdują się w .$\mathbb{R}$

Jak to się dzieje? Rozumiem, że iloczyn prawie trywialnych macierzy obrotu da macierz jednolitą z prawdziwymi zapisami, ale co z macierzami przesunięcia fazowego?

To znaczy: jeśli jesteś w stanie wykonywać tylko trywialne obroty i macierze przesunięcia fazowego, gdzie zapisy macierzy wynoszą , czy możemy skutecznie aproksymować wszystkie inne macierze przesunięcia fazowego?$0,\pm 1$

Podejrzewam, że ta implikacja nie jest od razu oczywista, a właściwy dowód na nią przypominałby dowód, że brama Toffoli firmy Deutsch jest uniwersalna - czy brakuje mi czegoś bardzo oczywistego?

Istnieje prosty dowód, że Toffoli i Hadamard są Quantum Universal autorstwa Dorit Aharonov, który pokazuje, jak złożone amplitudy mogą być symulowane przez rzeczywiste amplitudy na większej przestrzeni Hilberta z jeszcze jednym kubitem.

„Odbywa się to poprzez dodanie jednej dodatkowej qubit do obiegu, stan, który wskazuje, czy stan systemu jest w rzeczywistej lub urojonej części przestrzeni Hilberta, i zastępując każdą złożoną bramę działającej na k qubitach jego realnej wersji oznaczonej literą ˜ U , który działa na tych samych k kubitach plus dodatkowy kubit. jest zdefiniowany przez:$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

~ U | I⟩| 1⟩=-[Im(U)| I⟩]| 0⟩+$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$ "

Po drugie, potwierdza uniwersalność zestawu bramek {Hadamard, Toffoli}, który ma tylko rzeczywiste amplitudy .$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Oprócz artykułu, na który zwrócił uwagę Martin, był wcześniejszy artykuł Terry'ego Rudolpha i Lova Grovera pokazujący, że bramka 2-bitowa jest uniwersalna do obliczeń kwantowych (patrz quant-ph / 0210187 ). Brama ma wszystkie prawdziwe wejścia, a jeśli nie jesteś świadomy, rebit to kubity, w których amplitudy są ograniczone do liczb rzeczywistych. Może to być źródłem roszczenia. Brama opisana w artykule to kontrolowany obrót Y.

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$