Kontekst.
Piszę na tematy takie jak twierdzenia Gottesman-Knill korzystając Pauli grupy stabilizator, ale w przypadku d -wymiarowej qudits - gdzie d może mieć więcej niż jeden czynnik pierwszy. (Podkreślam to, ponieważ ogromna większość literatury na temat formalizmu stabilizatora w „wyższych wymiarach” dotyczy przypadków d pierwszej lub d pierwszej mocy i wykorzystuje pola skończone; zamiast tego rozważam grupy cykliczne ℤ d .)
Dla dowolnego wymiaru charakteryzuję grupę stabilizującą (Pauli) jako abelową podgrupę grupy Pauli, w której każdy operator ma przestrzeń własną +1 .
Piszę o wyniku, który jest dobrze znany z d = 2 (i łatwo uogólniony na d prim):
Grupa stabilizatorów stabilizuje unikalny czysty stan wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalny
gdzie przez maksymę rozumiem, że każde rozszerzenie albo leży poza grupą Pauli, albo jest nie-abelowe, lub zawiera operatory bez wartości własnych +1.
Dowody takich wyników dla d prime zwykle opierają się na fakcie, że ℤ d 2n jest przestrzenią wektorową ( tj. Że ℤ d jest polem): nie dotyczy to d composite. Istnieją dwa sposoby: uogólnić istniejące dowody w sposób, który jest odporny na istnienie zerowych dzielników ( np. Przy użyciu narzędzi takich jak normalna forma Smitha ), lub całkowicie uniknąć teorii liczb i zastosować pomysły, takie jak relacje ortogonalności operatorów Pauli.
Problem.
Właściwie mam już zwięzły dowód tego wyniku, w zasadzie wykorzystując jedynie relacje ortogonalności operatorów Pauliego. Ale podejrzewam, że widziałem już coś takiego i chciałbym odwołać się do stanu techniki, jeśli mogę (nie mówiąc już o tym, czy istnieją lepsze techniki niż te, których użyłem, które choć nie były uciążliwe, wydawały się mniej niż doskonałe ).
Z pewnością prace Knilla [quant-ph / 9608048] i [quant-ph / 9608049] rozważają podobne tematy i stosują podobne techniki; ale nie mogłem znaleźć rezultatu, którego tam szukałem, ani w pracy Gottesmana [quant-ph / 9802007] . Mam nadzieję, że ktoś wskaże mi, gdzie taki dowód mógł zostać opublikowany wcześniej.
Uwaga - wynik, który rozważam, nie jest tym, który wiąże liczność grupy z wymiarem ustabilizowanej przestrzeni (co jest miłe, ale banalne zarówno dla udowodnienia, jak i znalezienia odniesień); Jestem szczególnie zainteresowany pokazaniem, że każda grupa stabilizatorów, której nie można rozszerzyć, stabilizuje stan unikalny i odwrotnie. Odniesienie do dowodu, że jakakolwiek maksymalna grupa stabilizatorów ma tę samą liczność, byłoby w porządku; ale znowu nie może polegać na tym, że d jest liczbą pierwszą, a 2 d 2n jest przestrzenią wektorową.