Czy ten język jest rozpoznawalny po 3 symbolach TM w O (n log n)?

Bawiłem się bardzo interesującym i wciąż otwartym pytaniem „ Alfabet maszyny Turinga na jedną taśmę ” (autor: Emanuele Viola) i wymyśliłem następujący język:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

gdzie jest liczbą s w ciągu x. $count1(x)$ $1$

Na przykład, jeśli x = 01101111, to n = 8, m = 3, k = 2; więc $x \in L$

Czy L może zostać rozpoznany przez maszynę Turinga z pojedynczą taśmą i 3 symbolami alfabetu w krokach ? $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

Jeśli użyjemy 4 symboli, odpowiedź brzmi tak:

sprawdź, czy zastępuje s i s a jednocześnie zapisz s po prawej stronie; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
następnie policz liczbę s modulo w . $2$ $m$ $O(n \log{n})$

Na przykład:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Marzio De Biasi
źródło

Jeśli

to liczba naturalna reprezentowana przez

niż

jest zawsze równe

a więc

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

— Marc Bury,

Przepraszam | x | oznacza długość łańcucha x. Przykład: x = 01101111, n = 8, m = 3, k = 2, a zatem

x \in L

$x \in L$

— Marzio De Biasi

Nawiasem mówiąc, jest to doskonały kandydat na pytanie Emanuele, ponieważ jest w

: nie jest regularny przez lemat pompujący, więc nie może być

, ale jest

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Joshua Grochow

Czy nie możesz użyć tego samego pomysłu, co masz w przypadku 4 symboli , z następującymi modyfikacjami:

Zawsze przetwarzaj parę symboli jednocześnie.
W przeciągnięciach „div 2” zaznacz blok dwóch symboli jako „przetworzony” przez mapowanie . Nadal masz dostępny jako „separator”, którego możesz używać na obu końcach, i możesz łatwo odzyskać oryginalne dane. $(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
Użyj podobnej sztuczki dla kroków „mod 2”.

$O(1)$

— Jukka Suomela
źródło

Masz rację! ... teraz podejrzewam, że odpowiedź na pytanie Emanuele'a brzmi „tak”, ale wciąż jest otwarta, więc prawdopodobnie nie jest to zbyt łatwe, aby udowodnić to formalnie :-( Dzięki!

— Marzio De Biasi