Algorytmy holograficzne - równoważność zasad

Przeglądałem przełomowy artykuł Les Valiant i ciężko mi było spędzić czas z Propozycją 4.3 na stronie 10 tego artykułu.

Nie rozumiem, dlaczego jest tak, że jeśli istnieje generator z pewnymi wartościami dla na podstawie { ( a 1 , b 1 ) … ( a r , b r ) } , to istnieje jakiś generator z tym samym v a l Wartości G dla dowolnej podstawy { ( x a 1 , y b 1 ) … ( x a r , y b r$valG$$\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$$valG$ ( 1 s t k i n d ) lub { ( x b 1 , Y 1 ) ... ( x b R , Y R ) } ( 2 n d k : i n d ) dla każdego X , Y ∈ F .$\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$$1^{st} kind$$\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$$2^{nd} kind$$x,y \in F$

Dzielne wskazuje na względu na poprzedzającą punkt - mianowicie rodzaju transformacji można osiągnąć przez dodanie do każdego wejścia lub wyjścia węzeł krawędź masy 1 . 2 n d rodzaju transformacji Bitny twierdzi, można osiągnąć przez dodanie do węzłów wejściowych lub wyjściowych łańcuchy o długości 2 ważone przez X i Y odpowiednio.$1^{st}$$1$$2^{nd}$$2$$x$$y$

Tak naprawdę nie byłem w stanie zrozumieć tych stwierdzeń. Być może są już jasne, ale wciąż nie rozumiem, dlaczego powyższy konstrukt pomaga osiągnąć jakiekolwiek możliwe do zrealizowania wartości jednej podstawie z nową podstawą, która jest jednym z powyższych typów.$valG$

Proszę, pomóż mi je rozjaśnić. Z drugiej strony, czy są dostępne ankiety beztensorowe dla algorytmów holograficznych dostępne online. Większość z nich używa tensorów, które niestety mnie przerażają :-(

Najlepszy -Akash

Tensory (w tym sensie) to tylko tablice liczb, więc nie sądzę, że znajdziesz ankiety bez tensora, chyba że są całkowicie wolne od obliczeń.

Operacja „ ” formalizuje zarówno operacje zmiany podstawy, jak i dołączania gadżetów do każdego węzła wyjściowego (w rzeczywistości lubię myśleć o zmianie podstawy jako o rodzaju operacji gadżetowej). Niech Γ będzie klapką generatora ze standardową sygnaturą M i 1 i 2 ⋯ i k = u ( Γ ) . To tablica 2 tys . Liczb. Podpis na nowej podstawie nadawany jest przez$T^{\otimes k}$$\Gamma$$M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$$2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

gdzie to jakaś matryca dwa na dwa opisująca nową podstawę.$T$

Niech będzie zapałką utworzoną przez dodanie k nowych wierzchołków do Γ , przyjmując, że są to nowe wyjścia i łącząc je ze starymi wyjściami za pomocą krawędzi o wadze x . Zatem nową sygnaturą jest C ⊗ k M, gdzie C i j jest macierzą ( 0 x 1 0 ) . Jeśli następnie wykonać zmianę podstawy T C - 1 można uzyskać podpis T ⊗ k M .$\Gamma'$$k$$\Gamma$$x$$C^{\otimes k}M$$C_{ij}$$\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$$TC^{-1}$$T^{\otimes k}M$