Czy prawo wykluczenia środkowego implikuje aksjomat K w teorii typów wewnętrznych Intela Martina-Löfa?

Zastanawiam się więc, czy Prawo Wykluczonego Środka (LEM) implikuje tak zwany Axiom K w Intranice Teorii Typów Martina-Löfa. Aksjomat K stwierdza, że W rzeczywistości próbowałem udowodnić bardziej ogólne stwierdzenie, że ale po zredukowaniu do przez indukcję równości utknąłem w pierwszym problemie. Próbowałem też postępować w sprzeczności, ale wydaje się, że to nie działa.

Π_{ZA : T. y p mi} Π_{x : ZA} Π_{p : ID (x, x)}, ID (p, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

Π_{ZA : T. y p mi} Π_{x, y : ZA} Π_{p, q : ID (x, y)}, ID (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Czy to w ogóle da się udowodnić?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
źródło

Tak, LEM implikuje K. Patrz HoTT książka Twierdzenie 7.2.5 , znany jako twierdzenie Hedberg, który pokazuje, że każdy rodzaj z rozstrzygalnych spełnia aksjomat równości . Jeśli przyjmiemy wykluczone średnie, wszystkie typy mają decydującą równość. $K$

Twoja druga zasada znana jest pod nazwą UIP lub Uniqueness of Identity Proofs. Jest to równoważne z aksjomatem K, patrz Twierdzenie 7.2.1 w książce HoTT (przewiń w górę od 7.2.5 o jedną stronę). Żadnego z nich nie można wyprowadzić z teorii typu intensywnego Martina-Löfa, znanego wyniku Thomasa Streichera i Martina Hofmanna .

— Andrej Bauer
źródło

Przy tej okazji wspomnę o eleganckim dowodzie Alana Schmitta, który wyraźnie podkreśla kluczowy składnik: zdolność, biorąc pod uwagę dowód równości, do wyprodukowania kanonicznego.

— gallais

Warto jednak zauważyć, że, jak wskazano również w książce HoTT, istnieje słabsza forma „LEM”, która nie implikuje K i jest zapewne tym, co matematycy naprawdę rozumieją przez LEM, a mianowicie LEM ograniczony do typów subsletletów.

— Mike Shulman,