Lemat normalizacyjny Noether dla pól skończonych

Moje pytanie dotyczy twierdzeń 4.1 i 4.2 w „Teorii złożoności geometrycznej V” .

Pierwsze twierdzenie mówi, że istnieje algorytm EXPSPACE do konstruowania hsop dla$\Delta[\text{det},m]$ (patrz definicje w artykule) na $\mathbb{C}$ (w rzeczywistości na dowolnym algebraicznie zamkniętym polu o charakterystycznym zeru).

Drugi zawiera probabilistyczny wielościeżkowy algorytm Monte-Carlo dla tego samego problemu.

Czy wyniki tez można rozszerzyć na algebraiczne zamknięcie pola skończonego?

Jak rozumiem, jest to możliwe, ponieważ problem Hilberta Nullstellensatz również należy do PSPACE w tym przypadku. Twierdzenie Heintza i Schnorra dotyczy także pól o dowolnej charakterystyce ...

Uważam, że odpowiedź brzmi tak. Jedyną częścią, której nie sprawdziłem dokładnie, jest:

• Argument w środku Twierdzenia 4.2 wykorzystujący złożoną topologię oraz fakt, że zamknięcie Zariski = złożone zamknięcie dla zbiorów konstruowanych przez Zariski ponad $\mathbb{C}$. Ta część argumentu powinna być zastąpiona standardową techniką algebraiczną przy użyciu serii Laurenta, chociaż, jak powiedziałem, nie sprawdziłem tego dokładnie.

W Twierdzeniach 4.1 i 4.2 wydaje się, że jedynym innym miejscem, w którym rzeczywiście stosuje się zero, jest $\mathsf{EXPH}$część Twierdzenia 4.1 (przy założeniu GRH). Wykorzystuje to wynik Koirana, który, zakładając GRH, Nullstellensatz Hilberta$\mathsf{PH}$. Wynik Koirana w dużej mierze opiera się na charakterystycznym zeru (ponieważ rozważa rozwiązania układu równań modulo wielu różnych liczb pierwszych$p$). Nie jest to konieczne, aby uzyskać$\mathsf{EXPSPACE}$ część Twierdzenia 4.1, jednak tylko $\mathsf{EXPH}$ część (przy założeniu GRH).