Czy podejmowanie decyzji, czy zmiana jednego wpisu zmniejsza stałą macierzy w hierarchii wielomianowej?

Rozważmy następujący problem: biorąc pod uwagę macierz $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ , indeksy $i,j\in\{1,\dots,n\}$ i liczbę całkowitą $a$ . Wymienić $M[i,j]$ przez i wywołać nowa macierz . Czy $a$ $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ?

Czy ten problem występuje w hierarchii wielomianowej?

permanent

— T ....
źródło

Można to rozwiązać za pomocą dwóch wywołań wyroczni #P ... Gdyby było w PH, to sugerowałoby, że PP jest również w PH ... Jednakże, jeśli PP jest w PH, wówczas PH załamuje się. Myślę więc, że jest mało prawdopodobne, że jest w PH.

— Tayfun Zapłać

@TayfunPay Nie sądzę, aby ten argument był poprawny. Problem można rozwiązać za pomocą 2 wywołań na #P, ale nie można go tak łatwo wykluczyć, że istnieje prostszy algorytm, który może pokazać, że jest w PH. Musiałbyś pokazać, że jest to trudne dla #P, np. Przez zredukowanie do niego wartości Permanentnej.

— Jan Johannsen

Jeśli włączysz definicję stałej i uprościsz wynikającą z niej nierówność, twój problem sprowadza się do pytania, czy stała dla danej macierzy (n-1) -by- (n-1) jest ściśle dodatnia.

— Gamow

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ zwraca true.

— holf

@holf: Myślę, że powinieneś opublikować to jako odpowiedź. Dość definitywnie odpowiada na pytanie, a wtedy pytanie nie będzie już wyświetlane jako „bez odpowiedzi”.

— Joshua Grochow

Twój problem jest równoważny testowaniu, biorąc pod uwagę , czy . $M$ $PER(M) > 0$

Dowód : Załóżmy, że otrzymałeś i chcesz zdecydować, czy . Konstruujemy w następujący sposób: To jest łatwo zauważyć, że . Teraz zdefiniuj na gdzie zamieniamy wpis na na . Z multiliniowości wynika, że . Zatem wtedy i tylko wtedy, gdy $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

Załóżmy teraz, że otrzymałeś , i i zdefiniuj jak w swoim pytaniu, to znaczy zmieniając na . Mamy $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

gdzie jest macierzą uzyskaną z poprzez usunięcie linii i kolumny . $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— holf
źródło

Dobra odpowiedź, ale prawdopodobnie warto również wyraźnie podać odpowiedź na pytanie PO.

— Stella Biderman