Logiczne reakcje na system impredykatywny w predykatywnej metateorii

Relacje logiczne dla języków impredykatywnych, takich jak System F, wydają się krytycznie opierać na impredykatywności logiki otoczenia. W szczególności interpretacja typu forall zostanie zdefiniowana w kategoriach wszystkich relacji typowanych. W systemie impredykatywnym (jak CiC / Coq) jest w porządku, ale wydaje się to niemożliwe w systemie predykcyjnym (jak Agda).

Jak można to zrobić? Na przykład, jak udowodniłbyś normalizację dla Systemu F w Agdzie? Czy musisz budować własny impredykacyjny wszechświat?

Zasadniczo to, co zwykle nazywamy argumentem relacji logicznych, nie jest tak naprawdę powiązane z impredykatywnością: główną ideą jest po prostu interpretacja terminów w jakiejś abstrakcyjnej algebrze i reprezentowanie typów jako ( n -aryjna) relacja R ⊆ A n .$\cal A$$n$$R \subseteq \cal A^n$

$\lambda$

$\mathrm{PA}_2$

Jednak pouczające jest ustalenie, gdzie dokładnie dowody popełniają błąd w Agdzie. Rzeczywiście ma to miejsce, gdy próbujesz zdefiniować interpretację relacji logicznych impredykatywnej kwantyfikacji. Interpretacja nieprzywierających łączników (w tym kwantyfikacja „zależna”) jest koszerna w teorii takiej jak Agda.