Uważamy DAG (skierowane wykresy acykliczne) z jednym węzłem źródłowym jeden docelowego węzła ; dozwolone są równoległe krawędzie łączące tę samą parę wierzchołków. - cięcie jest zestaw krawędzi, których usunięcie usunięcie wszystkich - ścieżek dłuższe niż ; krótsze - szlaki, a także wydłużone „wewnętrzny” (te, które nie ścieżki pomiędzy i ), mogą przeżyć!s
Pytanie: Czy wystarczy usunąć co najwyżej około krawędzi z DAG, aby zniszczyć wszystkie ścieżki - dłuższe niż ? 1 / k1/k ss tt kk
To znaczy, jeśli oznacza całkowitą liczbę krawędzi w , to czy każdy DAG ma przecięcie o co najwyżej około krawędzi? Dwa przykłady:e ( G )
- Jeśli wszystkie ścieżki - mają długość , to istnieje -cut z krawędziami . Odnosi bo wtedy nie musi być rozłącznych -cuts: wystarczy warstwa węzły w zależności od ich odległości od węzła źródłowego .
s
s tt > k>k kk ≤ e ( G ) / k≤e(G)/k kk kk GG ss - Jeśli jest z przechodnią turnieju (pełna DAG), a także -cut z
\ równoważnik K \ Binom {n / k} {2} \ ok e (G) / k krawędzie istnieje: ustalić
topologiczne zamawiania z węzły, podziel węzły na
k kolejnych przedziałów długości n / k i usuń wszystkie krawędzie łączące węzły tego samego przedziału; zniszczy to wszystkie ścieżki s - t dłuższe niż k .
G = T n k ≤ k ( n / k
G=Tn k 2 ) ≈e(G)/K≤k(n/k2)≈e(G)/k k n / k s t kk n/k s t k
Uwaga 1: Naiwny próba dać pozytywną odpowiedź (który również próbował jako pierwszy) byłoby spróbować pokazać, że każdy musi mieć DAG o rozłącznych -cuts. Niestety, przykład 2 pokazuje, że ta próba może się nie powieść: za pomocą dobrego argumentu David Eppstein pokazał, że dla około wykres nie może mieć więcej niż cztery rozłączne cięcia- !
k k k √
Uwaga 2: Ważne jest, aby cut musiał tylko zniszczyć wszystkie długie ścieżki - , a niekoniecznie wszystkie długie ścieżki. Mianowicie, istnieje 1 DAG, w których każde „czyste” cięcie (unikając krawędzi padających na lub ) musi zawierać prawie wszystkie krawędzie. Tak więc moje pytanie brzmi: czy możliwość usunięcia krawędzi również za pomocą lub znacznie zmniejszyć rozmiar cięcia ? Najprawdopodobniej odpowiedź jest przecząca, ale jak dotąd nie mogłem znaleźć kontrprzykładu.
k s t k s t s t k
Motywacja: Moje pytanie jest motywowane przez udowodnienie dolnych granic monotonicznych sieci przełączania i prostowania. Taka sieć to po prostu DAG, którego niektóre krawędzie są oznaczone testami „czy ?” (nie ma testów ). Rozmiar sieci jest liczba oznakowanych krawędziach. Wektor wejściowy jest akceptowany, jeśli istnieje ścieżka - której wszystkie testy są zgodne z tym wektorem. Markov udowodnił, że jeśli monotoniczna funkcja boolowska nie ma minterms krótszych niż i nie ma maxterms krótszych niż , to rozmiar x i = 1 x i = 0 s t f l w l ⋅ w k ⋅ w k w k 0 k
1 Konstrukcja jest podana w tym artykule.
Weź pełne drzewo binarne głębokości . Usuń wszystkie krawędzie. Dla każdego wewnętrznego węzła narysuj krawędź do z każdego liścia lewego poddrzewa i krawędź od do każdego liścia prawego poddrzewa . Zatem co dwa liście są połączone ścieżką o długości w DAG. Sam DAG ma węzłów i edge, ale krawędzie muszą zostać usunięte, aby zniszczyć wszystkie ścieżki dłuższe niżT log n v v T v v T v T 2 ∼ n ∼ n log n Ω ( n log n ) √