Zastosowania kategorii

Nie jestem teoretycznym informatykiem. Jestem stabilnym teoretykiem homotopii, posługującym się kategoriami . Widziałem zastosowań teorii teorii kategorii i topos teoretycznej informatyki, a ja zastanawiałem się, czy istnieje jakikolwiek sposób można użyć ∞ -categories (i korzystnie dla mnie, stabilny teorii homotopii) w teoretycznej informatyki. Myślę, że HoTT może być jedną z takich aplikacji, ale mogę się mylić, ponieważ nic nie wiem o HoTT. (Więc nie wiem też, jak HoTT jest używany w TCS.)$\infty$$\infty$

Zastosowanie wyższych pomysłów teoretycznych do homotopii w CS jest wciąż bardzo rodzącym się polem! Rozumiem, że nie jest nawet tak stary jak dziedzina matematyki.

Z pewnością HoTT jest głównym impulsem dla takich pomysłów. Nawet tam jednak było tylko kilka zastosowań teorii kategorii „wymiaru” wyższej niż 2.

Jedną fajną „informatyką” jest Homotopical Patch Theory autorstwa Anguili i in . Pokazują, że niektóre typowe operacje i właściwości, gittakie jak systemy kontroli wersji, można najlepiej zrozumieć, stosując teorię typu homotopii.

Innym raczej niepowiązanym tokiem myślenia jest interesująca praca nad związkiem między (2) teorią homologii a zbieżnością systemów przepisywania terminów (lub bardziej złożonych struktur, takich jak wyższe algebry). Niektóre przykłady to

Y. Guiraud Zbieg liniowego przepisywania i homologii algeb .

Y. Lafont i A. Proute Church-Rosser własność i homologia monoidów .

Informatycy teoretyczni robią wiele rzeczy, z których jedną z nich jest modelowanie matematyczne różnych rzeczy związanych z nauką komputerową. Na przykład lubimy dostarczać modele matematyczne języków programowania, aby ludzie mogli faktycznie udowodnić różne rzeczy w programach (na przykład udowodnić, że program robi to, co powinien). W tym sensie zawsze dobrze jest mieć dobry zasób technik matematycznych, które dadzą nam modele różnych rzeczy, które wymyślą informatycy.

$D$$D \cong D^D$

$(\infty,1)$$\infty$

Jedyny związek między stabilną teorią homotopii a teorią typów, o której wiem, to praca Matthijsa Vákára na temat liniowej teorii typów zależnych . Najwyraźniej jednym z jego modeli jest stabilna teoria homotopii, ale nie została ona jeszcze opublikowana, a jedynie wskazana na końcu powiązanego artykułu.

Innym miejscem, w którym można szukać zastosowań teorii homotopii (stabilnej lub nie) w informatyce, jest topologia obliczeniowa . Jest trwałe homologii niedawno znalazł wiele zastosowań, a ludzie są na pewno patrząc na aplikacje homotopii-teoretyczny podobnego rodzaju. Podstawową ideą jest użycie topologii algebraicznej do badania właściwości dużych zestawów danych.

Bez wątpienia istnieją inne aplikacje. Cody wspomniał o zastosowaniu teorii homotopii (pod przykrywką teorii typu homotopii) do badania systemów kontroli wersji. Istnieją również zastosowania teorii homotopii do badania obliczeń równoległych i równoległych, takich jak „ topologia algebraiczna i współbieżność ”. Ktoś bardziej kompetentny może być na tyle uprzejmy, aby zapewnić lepsze referencje. W każdym razie zauważysz, że wszystkie te zastosowania (z możliwym wyjątkiem teorii typu homotopii) są dość niewyszukane z matematycznego punktu widzenia - co nie znaczy, że są bezwartościowe!

próbuje to naszkicować bardziej ogólne połączenia. niektóre z tego programu można uznać za bardzo aktualne i bardziej rozbudowane rozszerzenie starej korespondencji Curry-Howarda odnotowane między dowodami a programami. istnieje również ścisły związek z automatycznym dowodzeniem twierdzeń (inaczej asystentami dowodowymi). wiele technik stosowanych w automatycznych dowodach dowodowych nie opiera się na całkowicie solidnych podstawach matematycznych, a teoria homotopii dodaje mocniejszego uziemienia.

ta propozycja pokaźnego zespołu uchwyca / ankietuje większość znanych obecnie powiązań z CS: Teoria typów homotopii: ujednolicone podstawy matematyki i obliczeń (propozycja MURI)

Licata z tego zespołu jest szczególnie zainteresowana komputerowymi zastosowaniami naukowymi teorii homotopii. niektóre z jego rozmów, a jeden przez Voevodsky założyciela standout Univalence aksjomat :

• Zastosowania matematyczne i obliczeniowe teorii typów homotopii. Colloquium na University of Iowa. Listopad 2013. [ slajdy ]

• Komputerowo sprawdzone dowody w logice teorii homotopii. Zaproszony wykład w Association for Symbolic Logic North American Meeting. Maj 2013. [ slajdy ]

• Programowanie i sprawdzanie w teorii typów homotopii. Kolokwium w Wesleyan, Princeton i Cornell. Wiosna, 2013. [ slajdy ]

• Informatyka i teoria homotopii , 10-metrowy wykład wideo Voevodsky / IAS