W jakim stopniu matematykę Rzeczywistości można zastosować do Rzeczywistości Obliczalnych?

Czy istnieje ogólne twierdzenie, które przy odpowiedniej dezynfekcji stanowiłoby, że najbardziej znane wyniki dotyczące użycia liczb rzeczywistych mogą być rzeczywiście wykorzystane przy rozważaniu tylko liczb rzeczywistych? Czy też istnieje właściwa charakterystyka wyników, które pozostają aktualne, biorąc pod uwagę tylko rzeczywiste obliczalne? Bocznym pytaniem jest to, czy wyniki dotyczące liczb obliczalnych można udowodnić bez konieczności uwzględniania wszystkich rzeczywistych lub czegokolwiek, co nie jest obliczalne. Myślę szczególnie o rachunku różniczkowym i matematycznym, ale moje pytanie nie ogranicza się do tego.

Właściwie przypuszczam, że istnieje hierarchia obliczalnych liczb rzeczywistych odpowiadająca hierarchii Turinga (czy to prawda?). Następnie, bardziej abstrakcyjnie, istnieje abstrakcyjna teoria rzeczywistości (nie jestem pewna, jaka powinna być terminologia), dla której można udowodnić szereg wyników, która dotyczyłaby tradycyjnych liczb rzeczywistych, ale także liczb obliczalnych, i do dowolnego poziomu hierarchii Turinga obliczalnych liczb rzeczywistych, jeśli istnieje.

Następnie moje pytanie mogłoby być sformułowane następująco: Czy istnieje charakterystyka wyników, która będzie miała zastosowanie w abstrakcyjnej teorii rzeczywistości, gdy zostaną one udowodnione w przypadku tradycji tradycyjnych? I czy wyniki te można udowodnić bezpośrednio w teorii abstrakcyjnej, bez uwzględnienia tradycyjnych reali.

Interesuje mnie również zrozumienie, w jaki sposób i kiedy te teorie rzeczywistości są rozbieżne.

PS Nie wiem, gdzie to zmieścić w moim pytaniu. Uświadomiłem sobie, że znaczna część matematyki na realiach została uogólniona z topologią. Być może więc odpowiedź na moje pytanie lub jego część znajduje się tam. Ale może być też coś więcej.

Liczby rzeczywiste można scharakteryzować na kilka sposobów, pozwól nam pracować z uporządkowanym archimedesowym polem Cauchy'ego . (Musimy być nieco ostrożny jak dokładnie mówimy, to patrz Definicja 11.2.7 i defintion 11.2.10 z książki hott ).

Poniższe twierdzenie obowiązuje w każdym toposie (model logiki intuicyjnej wyższego rzędu):

Twierdzenie: Istnieje pole uporządkowane archimedesowo z kompletem Cauchy'ego, a w rzeczywistości dowolne dwa takie pola są kanonicznie izomorficzne.

Co więcej, w logice intuicyjnej (nie mylić z intuicjonizmem ) możemy przeprowadzić wiele rzeczywistych analiz (sekwencji i granic, pochodnych, całek, ciągłości, jednolitej ciągłości itp.), Która jest następnie aktualna w dowolnym toposie. Jeśli weźmiemy topos zbiorów, otrzymamy zwykłą prawdziwą analizę. Biorąc inny topos, otrzymujemy inny rodzaj prawdziwej analizy - i istnieje topos, który daje dokładnie obliczalne liczby rzeczywiste i obliczalną rzeczywistą analizę.

Jest to oczywiście skuteczny topos , w którym liczby rzeczywiste są rzeczywistymi obliczalnymi (mówiąc ogólnikowo, powodem tego jest fakt, że efektywne topos jest skonstruowany w taki sposób, że wszystko w nim jest automatycznie obliczalne). Odpowiedź na twoje pytanie brzmi

Definicje, konstrukcje i twierdzenia w intuicyjnej analizie rzeczywistej są automatycznie tłumaczone na definicje, konstrukcje i twierdzenia o liczbach obliczalnych, gdy interpretujemy je w skutecznych toposach.

Na przykład twierdzenie „każda jednolicie ciągła mapa osiąga supremum” jest uzasadnione intuicyjnie. Kiedy interpretujemy to w skutecznych toposach, otrzymujemy odpowiednią wersję map obliczalnych na liczbach obliczalnych, które są obliczalnie jednorodnie ciągłe.$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

Pytasz także o „rozbieżność” między analizą rzeczywistą a jej wersją obliczalną. Odpowiedź jest taka, że ​​wyniki oparte na prawie wykluczonego środka lub aksjomacie wyboru (chociaż wybór możliwy do policzenia jest w porządku) nie są intuicyjne i dlatego nie można ich zweryfikować w skutecznych toposach. Należy jednak zauważyć, że (wbrew powszechnej opinii) większość analiz można przeprowadzić intuicyjnie.

Efektywny topos jest tylko jednym z wielu toposów wykonalności . Kiedy interpretujemy intuicyjną analizę w innych topach wykonalności, otrzymujemy alternatywne modele obliczeń liczb rzeczywistych, w tym obliczenia z wyroczniami, do których nawiązujesz. „Względne topologie realizowalności funkcji Kleene” (cokolwiek to jest) daje tak zwane obliczenia typu II na liczbach rzeczywistych, w których mapy obliczeniowe działają na wszystkich liczbach rzeczywistych, a nie tylko na liczbach obliczalnych.

Próbowałem to wyjaśnić raz w notatkach „Realizowalność jako związek między matematyką obliczalną a konstruktywną” , a wcześniej w mojej pracy doktorskiej. teza .