Dlaczego wykresy Ramanujana noszą nazwy od Ramanujan?

Ostatnio uczyłem ekspanderów i wprowadziłem pojęcie grafów ramanujańskich. Michael Forbes zapytał, dlaczego tak się nazywają, i musiałem przyznać, że nie wiem. Ktoś?

Aby dodać trochę treści do odpowiedzi tutaj, wyjaśnię pokrótce przypuszczenie Ramanujana.

Po pierwsze, przypuszczenie Ramanujana jest w rzeczywistości twierdzeniem udowodnionym przez Eichlera i Igusę. Oto jeden ze sposobów, aby to stwierdzić. Niech $r_m(n)$ oznacza liczbę całkowych rozwiązań równania kwadratowego $x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ . Jeśli $m=1$ , to $r_m(n) > 0$m r m ( n ) = c m Σ d | n d + O ( n 1 / 2 + ε ) ε > 0 c m$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$

Lubtozky, Phillips i Sarnak skonstruowali swoje ekspandery na podstawie tego wyniku. Nie znam szczegółów ich analizy, ale myślę, że podstawową ideą jest skonstruowanie wykresu Cayleya dla pierwszej that , przy użyciu generatorów określonych przez każdą sumę - rozkład czterech kwadratów p , gdzie p jest kwadratowym modułem reszty modulo q . Następnie odnoszą wartości własne tego wykresu Cayleya do r_ {2q} (p ^ k) dla liczb całkowitych k . q 1 mod $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$p q r 2 q ( p k ) $p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$

Odwołaniem, innym niż sam papier Lubotzky'ego-Phillipsa-Sarnaka, jest krótki opis Nogi Alona w Narzędziach z Wyższej Algebry .

Wikipedia udziela tej odpowiedzi dość szybko. Cytowanie

Konstrukcje grafów Ramanujana są często algebraiczne. Lubotzky, Phillips i Sarnak pokazują, jak konstruować nieskończoną rodzinę nieregularnych wykresów Ramanujana, ilekroć jest liczbą pierwszą. Ich dowód wykorzystuje przypuszczenie Ramanujana , które doprowadziło do nazwy grafów Ramanujana.p = $p+1$$p = 1 \mod 4$

Artykuł, o którym mowa, to wykresy Ramanujana A. Lubotzky, R. Phillips i P. Sarnak, COMBINATORICA Tom 8, Numer 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.