Kolejny wariant PARTYCJI

Mam redukcję następującego problemu z partycją do pewnego problemu z planowaniem:

Dane wejściowe: lista liczb całkowitych dodatnich w kolejności nie malejącej. $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

Pytanie: Czy istnieje wektor taki, że $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

Bez drugiego warunku jest to po prostu PARTYCJA, a więc NP-twardy. Ale drugi warunek wydaje się dostarczać wiele dodatkowych informacji. Zastanawiam się, czy istnieje skuteczny sposób decydowania o tym wariancie. Czy to wciąż trudne?

— Thomas Kalinowski
źródło

Oto redukcja ze PARTYCJI do tego problemu. Niech $(a_1,\dots, a_n)$ będą wystąpieniem PARTYCJI. Załóżmy, że $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ .

Niech będzie „bardzo dużą liczbą”, np. . Rozważmy instancję naszego problemu. $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

Jeśli istnieje rozwiązanie do PARTITION, to to rozwiązanie naszego problemu. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
Jeśli istnieje rozwiązanie do wystąpienia naszego problemu (do którego zredukowaliśmy wystąpienie PARTITION do), wtedy . Zatem To znaczy, jest rozwiązaniem PARTYCJI. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Yury
źródło

Dzięki Yury. W mojej aplikacji istotne jest, aby lista wejściowa była uporządkowana nie malejąco, a dane wejściowe w Twojej redukcji nie były. Zmodyfikuję pytanie, aby bardziej precyzyjne było wymaganie dotyczące zamówienia.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski

@thomas: Nie zauważyłem tego. Teraz zaktualizowałem swoje rozwiązanie.

— Yury