Czy możemy sortować bez permutacji?

Dobrze wiadomo, że permutacje sortujące według transpozycji są w , ponieważ minimalna liczba transpozycji wymagana do sortowania π ∈ S n wynosi dokładnie i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j  i  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$. Pojęcie „Numer inwersji” ma również zastosowanie w algebraicznych kombinatoryki, na przykład umożliwia wyposażyć o strukturze siatki, zwany permutohedron i w oparciu o słaby aby G. Bruhat.$S_n$

Przekształcenie problemu w teorię grupową może być pouczające. Dostajemy grupę z zestawem generatora Γ i odwzorowaniem i G : Γ ∗ → G , a także inną grupę H, na którą G działa przejściowo, i chcemy rozwiązać następujący problem: biorąc pod uwagę h ∈ H , znajdź minimalną długość w ∈ Γ ∗ takie, że i G ( w ) . H = 1 H . W przypadku permutacji G = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$ i Γ to zbiór transpozycji.$G = H = S_n$$\Gamma$

Pytanie: czy istnieją inne przypadki tego problemu, które dopuszczają wydajne algorytmy?

$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

$\sigma_i$$i$$i+1$

$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Mark Jerrum: Złożoność znalezienia sekwencji generatora o minimalnej długości. Teoria Comput. Sci. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$