Czy jest to równoważny warunek dla zestawów algebraicznych?

Definicja „zestawu algebraicznego” w ciągłych sieciach i domenach , definicja I-4.2, mówi, że dla wszystkich ,$x \in L$

• zbiór powinien być zbiorem ukierunkowanym, i$A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
• .$x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$

Tutaj jest zbiorem, K ( L ) jest zbiorem zwartych elementów L , a ↓ x oznacza { y ∣ y ⊑ x } .$L$$K(L)$$L$${\downarrow} x$$\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

Byłem trochę zaskoczony pierwszym warunkiem. Łatwo jest argumentować, że jeśli i k 2 są w A ( x ), to k 1 ⊔ k 2 również znajduje się w A ( x ) . Zatem wszystkie niepuste skończone podzbiory A ( x ) mają w sobie górne granice. Jedyne pytanie dotyczy tego, czy pusty podzbiór ma górną granicę, tj. Czy A ( x ) jest w pierwszej kolejności niepuste. Więc,$k_1$$k_2$$A(x)$$k_1 \sqcup k_2$$A(x)$$A(x)$$A(x)$

• Czy zastąpienie pierwszego warunku parametrem jest niepusty?$A(x)$
• Jaki jest przykład sytuacji, w której jest pusty?$A(x)$

Dodano uwagę: W jaki sposób w A (x)? Po pierwsze, ponieważ k 1 ⊑ x i k 2 ⊑ x , mamy k 1 ⊔ k 2 ⊑ x . Po drugie, k 1 i k 2 są zwarte. Tak więc każdy ukierunkowany zestaw, który wykracza poza ich zakres, musi je „przekazać”. Załóżmy, że zestaw ukierunkowany u również wykracza poza k 1 ⊔ k 2 , tj. K 1 ⊔ k 2 ⊑ ⨆ $k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqsubseteq x$$k_2 \sqsubseteq x$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$$k_1$$k_2$$u$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$. Ponieważ wyszła poza i k 2 , to musi je minęło, czyli istnieją elementy y 1 , y 2 ∈ U taki, że k 1 ⊑ y 1 i k 2 ⊑ y 2 . Ponieważ u jest zbiorem ukierunkowanym, musi mieć górną granicę dla y 1 i y 2 , powiedzmy y . Teraz k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d . To pokazuje że$k_1$$k_2$$y_1, y_2 \in u$$k_1 \sqsubseteq y_1$$k_2 \sqsubseteq y_2$$u$$y_1$$y_2$$y$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$ jest zwarty. Dwa elementy razem mówią k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) .$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

Przykładem, w którym jest puste, jest zbiór liczb rzeczywistych R o zwykłej kolejności. Nie ma żadnych kompaktowych elementów.$A(x)$$\mathbb{R}$

$A(x)$$A(x) = \emptyset$$x$$L$$x \in A(x) = \emptyset$

$L$$\mathbb{N}$$\infty$$\iota_1(n)$$\iota_2(n)$$n$

• $\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
• $\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
• $x \leq \infty$$x$

$\infty$

1. ${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$

2. $x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$

3. ${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$