Ograniczenia wejściowe nieskończonych sekwencji

Oto łamigłówka, której nie udało mi się rozwiązać. Chciałbym wiedzieć, czy ten problem jest już znany, czy ma łatwe rozwiązanie.

Możliwe jest zdefiniowanie biosekcji przy użyciu właściwości dwuczęściowych kategorii zamkniętych. Andrej Bauer zamieścił wyjaśnienie, co to znaczy na swoim blogu jako „ Konstruktywny klejnot: żonglerka wykładnicza ”. $3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

Ten bijection ma interesującą właściwość: jest „ograniczonym wejściem”, co oznacza, że każdy składnik wyniku zależy tylko od ograniczonej liczby składników wejścia. Jednak dla wydaje się, że ta konstrukcja może tylko pokazać, że i są izomorficzne jeśli i są zarówno nieparzyste lub nawet obie. To pozostawia otwarte pytanie: $k,l\geq 2$ $k^\mathbb{N}$ $l^\mathbb{N}$ $k$ $l$

Czy istnieje bijectacja z ograniczonym wejściem od do ? $2^\mathbb{N}$ $3^\mathbb{N}$

Oto krótka uwaga opisująca problem bardziej szczegółowo: Hipoteza o ograniczeniach wejściowych nieskończonych sekwencji .

Definicje:

Funkcja jest ograniczoną wartością wejściową, jeśli istnieje liczba całkowita taka, że każdy składnik wyjścia zależy tylko co najwyżej składników wejścia. Bardziej formalnie, jest ograniczonym wejściem, jeśli dla każdego indeksu istnieją indeksy i funkcja $f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$ $k$ $f$ $k$ $f$ $j \in J$ $i_1,\dotsb,i_k \in I$ tak, że dla wszystkichskładnik jest równy. $f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$ $x \in X$ $f(x)_j$ $f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

Bijection to bijection z ograniczonym wejściem, jeśli jest funkcją ograniczonego wejścia. $f$

Bijection jest izomorfizmem z ograniczonym wejściem, jeśli on i jego odwrotność są funkcjami z ograniczonym wejściem. To też jest interesujące. $f$

puzzles ct.category-theory topology

— Colin McQuillan
źródło

Prawdopodobnie lepiej jest skopiować definicję „bijection z ograniczonym wejściem” z notatki. Źle zrozumiałem definicję, dopóki jej nie przeczytałem.

— Tsuyoshi Ito,

Gotowy. Chciałbym podkreślić, że chociaż motywacja pytania pochodzi z semantyki teorii kategorii, sama łamigłówka jest kombinatoryczna.

— Colin McQuillan,

(2 k)^{N}

$(2k)^{\mathbb{N}}$

(2 k + 1)^{N}

$(2k+1)^{\mathbb{N}}$

Bardzo podoba mi się ta hipoteza, która spotyka się już od miesiąca. Daję nagrodę każdemu, kto ją rozwiąże lub zrobi znaczący postęp w obu kierunkach.

— Aaron Sterling

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

3^{N}

$3^\mathbb{N}$

Odpowiedzi:

$P^{\mathbb{N}}$ $P^{\mathbb{Z}}$

A. Del Junco, „Kody finansowe między jednostronnymi przesunięciami Bernoulliego”, Ergodic Theory Dynamical Systems, vol. 1, s. 285–301, 1981.

PS Zamierzam zostawić to jako komentarz, ale nie mogę tego z powodu braku reputacji. Daj mi znać, jeśli jest to całkowicie nie na temat, a następnie go usunę.

— gondolier
źródło

W tym momencie z zadowoleniem przyjmuję wszelkie zwariowane pomysły na burzę mózgów.

— Aaron Sterling

Zauważ, że to, czy wskaźniki są pobierane z ℕ czy ℤ, nie ma znaczenia w tym pytaniu.

— Tsuyoshi Ito,

Przyznałem pełną nagrodę za tę odpowiedź, ponieważ gdybym nic nie zrobił, odpowiedź i tak otrzymałaby połowę nagrody, która jest najbardziej uprzywilejowana (i co najmniej dwa głosy). Jeśli ktoś opublikuje pełny lub częściowy dowód w późniejszym terminie i go zobaczę, prawdopodobnie zacznę kolejną nagrodę, aby przyznać przedstawicielowi solver.

— Aaron Sterling

$k^\mathbb{N}$ $2^\mathbb{N}$ $k$ $k = 3$ $k - 2$ $k - 1$

$2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

$i$ $i$ $k$

$k$ $k$ $i$ $k$ $k i$

To nie jest ograniczone wejście w żadnym kierunku. Zgodnie z definicją funkcji ograniczonego wejścia potrzebujesz równomiernego ograniczenia liczby zmiennych wejściowych, od których zależy każda zmienna wyjściowa. W kierunku do przodu odwzorowania i-ta zmienna wyjściowa zależy od pierwszych zmiennych wejściowych i, więc nie ma jednolitego ograniczenia. W kierunku wstecznym i-ta zmienna wyjściowa zależy od pierwszych zmiennych wejściowych ki.

— Tsuyoshi Ito,

Nie. Przeczytam pytanie po raz pierwszy. :(