Asymptotycznie, ile permutacji

Rozważ permutację $\sigma$ wynoszącą $[1..n]$ . Inwersję definiuje się jako parę $(i, j)$ indeksów takich, że $i < j$ i $\sigma(i) > \sigma(j)$ .

Zdefiniuj $A_k$ jako liczbę permutacji $[1..n]$ z co najwyżej $k$ inwersjami.

Pytanie: Jaka jest ścisła asymptotyczna granica dla $A_k$ ?

Podobne pytanie zostało zadane wcześniej: Liczba permutacji, które mają tę samą odległość Kendall-Tau

Ale pytanie powyżej dotyczące obliczania $A_k$ . Można go obliczyć za pomocą programowania dynamicznego, ponieważ spełnia przedstawioną tutaj relację powtarzalności: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -sort-swap

Zbadano również liczbę permutacji z dokładnie $k$ inwersjami, które można wyrazić jako funkcję generującą: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions

Ale nie mogę znaleźć formuły zamkniętej ani asymptotycznej granicy.

co.combinatorics permutations

— Vinayak Pathak
źródło

Jeśli masz generujący wielomian dla sekwencji, możesz uzyskać generujący wielomian dla sum prefiksu po prostu mnożąc wielomian przez

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$ . W twoim przypadku użyjesz wielomianu, z którym się łączysz, który oblicza dokładnie k inwersji.

— Suresh Venkat

To jest oeis.org/A161169

— András Salamon

@SureshVenkat Dzięki za wskazówkę. Ale będę nadal tkwić w znalezieniu współczynnika

w to naprawdę skomplikowane pod względem wielomian

a ja nie wiem, jak to zrobić.

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— Vinayak Pathak

aby uzyskać współczynnik

, weź

pochodną wielomianu generującego i oceń ją przy

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— Sasho Nikolov

Według Wikipedii liczba permutacji w przy dokładnie inwersjach jest współczynnikiem w Oznacz to przez . To pokazuje, że $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2)}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

Zatem liczba permutacji w

z co najwyżej

inwersjami jest równa liczbie permutacji w

z dokładnie

inwersjami. Ma to również zgrabny dowód kombinatoryczny (wskazówka: weź

i usuń

do (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} do (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

Jeśli interesuje nas tylko współczynnik , to czynniki dla nie mają znaczenia. Zatem dla , to współczynnik w $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ To implikuje wzór

\begin{aligned} 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) (1 + X + \dots + X^{k} + \dots)^{n - k} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \frac{1}{(1 - X)^{n - k}} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \sum_{t = 0}^{\infty} (\binom{t + n - k - 1}{t}) X^{t} . \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

c (n, k) = \sum_{t = 0}^{k} (\binom{n + t - k - 1}{t}) c (k, k - t), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

Gdy jest stałe, asymptotycznie najważniejszym terminem jest ten odpowiadający , a mamy $k$ $t = k$

c (n, k) = (\binom{n - 1}{k}) + O_{k} (n^{k - 1}) = \frac{1}{k!} n^{k} + O_{k} (n^{k - 1}) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

$k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ rośnie w $t$ i $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$ , dostajemy granice

(\binom{n - 1}{k}) \leq do (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$ Lepsze granice są z pewnością możliwe, ale zostawię to tobie.

— Yuval Filmus
źródło

Korzystając z aproksymacji Stirlinga i granic dwumianowych, możemy uprościć ostatnie wyrażenie

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$ so

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$ . This is not tight of course but it's a more elegant bound than I would expect from those approximations.

— SamM