Kombinatory dla pierwotnych funkcji rekurencyjnych

Powszechnie wiadomo, że kombinatory S i K są Turing Complete. Czy istnieją kombinatory, które wystarczają, aby uzyskać (tylko) pierwotne funkcje rekurencyjne?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
źródło

Czy o to pytasz? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Andrej Bauer

Tak, ale musisz wziąć pod uwagę kombinatory maszynowe. Oznacza to, że musisz podać i następujące schematy typów: gdzie i są meta-zmiennymi, które mogą być tworzone przy użyciu dowolnego konkretnego typu przy każdym użyciu. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Następnie chcesz dodać typ liczb naturalnych do języka typów i dodać następujące kombinatory: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s u c c & : & N \to N \\ i t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Reguły równości dla dodatków to:

\begin{array}{lcl} i t e r i f z & = & i \\ i t e r i f (s u c c e) & = & f (i t e r i f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

O wiele łatwiej jest czytać pisane programy, jeśli po prostu piszesz programy w prostym typie rachunku lambda, powiększonego o cyfry i iterację. System, który opisałem, jest ograniczeniem T Goedela , języka arytmetyki wyższego typu. W Goedel's T wpisywanie iteracji jest mniej ograniczone: W T , możesz utworzyć na dowolnym typie, a nie tylko na liczbach naturalnych. To prowadzi Cię do prymitywnej rekurencji i pozwala zdefiniować takie rzeczy, jak funkcja Ackermana.

\begin{array}{lcl} i t e r & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

EDYCJA: Xoff zapytał, jak zakodować funkcję poprzednika. Wynika to standardową lewą. Aby to wyjaśnić, użyję do tego notacji lambda (którą można wyeliminować za pomocą abstrakcji nawiasów), ponieważ jest to o wiele bardziej czytelne. Najpierw załóżmy, że mamy pary i bardziej ogólny typ dla . Następnie możemy zdefiniować: $\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k . i t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s u c c n, n)) k \\ p r e d & = & λ k . s n d (p r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

Jeśli masz tylko iterator typu nat, musisz wykorzystać izomorfizm, który , co jest denerwujące, ale nie stanowi podstawowej przeszkody. $\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
źródło

Czyli jest to mniej niż ukończenie Turinga ze względu na ograniczenie do kombinatorów maszynopisanych? Czy zmienne typu (rekurencyjnie) mogą oznaczać funkcje nad zmiennymi typu (np. A = D -> E dla niektórych typów D i E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Neel, dzięki. Czy miałbym rację, myśląc, że możliwe jest reprezentowanie z, succ i iter w kategoriach S i K za pomocą kodowania liczbowego Kościoła?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: funkcja poprzednika ma dobrze znaną definicję czasu liniowego pod względem iter. To może być przedmiotem pytania na cs.stackexchange.com ...

— cody