Czy norma śladowa różnicy między dwiema matrycami gęstości oznacza, że ​​te dwie macierze gęstości można jednocześnie diagonalizować?

Uważam, że odpowiedź na to pytanie jest dobrze znana; ale niestety nie wiem.

W obliczeniach kwantowych wiemy, że stany mieszane są reprezentowane przez macierze gęstości. A norma śladowa różnicy dwóch macierzy gęstości charakteryzuje rozróżnialność dwóch odpowiadających stanów mieszanych. Tutaj definicja normy śladowej jest sumą wszystkich wartości własnych macierzy gęstości, z dodatkowym współczynnikiem multiplikatywnym 1/2 (zgodnie z różnicą statystyczną dwóch rozkładów). Dobrze wiadomo, że gdy różnica dwóch macierzy gęstości wynosi jeden, wówczas odpowiadające dwa stany mieszane są całkowicie rozróżnialne, podczas gdy gdy różnica wynosi zero, dwa stany mieszane są całkowicie nierozróżnialne.

Moje pytanie brzmi: czy norma śladowa różnicy między dwiema matrycami gęstości oznacza, że ​​te dwie macierze gęstości można jednocześnie diagonalizować? W takim przypadku podjęcie optymalnego pomiaru w celu rozróżnienia tych dwóch stanów mieszanych będzie zachowywać się jak rozróżnienie dwóch rozkładów w tej samej domenie z rozłącznym wsparciem.

Oto jeden ze sposobów udowodnienia, że ​​jesteś zainteresowany.

$\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Aby wyciągnąć ten wniosek, należy najpierw zauważyć, że i , więc . Następnie weź i jako ortogonalne rzuty na obrazy odpowiednio i . Mamy więc Oba i$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$muszą być zawarte w przedziale [0,1], z którego wnioskujemy, że i . Na podstawie tych równań nietrudno jest wyciągnąć i , a zatem na podstawie powyższego równania. Podobny argument pokazuje .$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Tak. Jeśli odległość śladu dwóch macierzy gęstości jest równa 1, wówczas mają one podparcia ortogonalne, a zatem są jednocześnie diagonalne.