Rozróżnianie

Biorąc pod uwagę stan kwantowy wybrany losowo równomiernie ze zbioru stanów mieszanych , jakie jest maksymalne średnie prawdopodobieństwo prawidłowej identyfikacji ? $\rho_A$ $N$ $\rho_1 ... \rho_N$ $A$

Problem ten można przekształcić w problem odróżnialności dwóch stanów, rozważając problem odróżnienia od $\rho_A$ . $\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Wiem, że dla dwóch stanów kwantowych problem ma dobre rozwiązanie pod względem odległości śledzenia między stanami, gdy minimalizujesz maksymalne prawdopodobieństwo błędu, a nie minimalizując średnie prawdopodobieństwo błędu, i miałem nadzieję, że może być coś podobnego dla ta sprawa. Oczywiście możliwe jest zapisanie prawdopodobieństwa w kategoriach optymalizacji w stosunku do POVM, ale mam nadzieję na coś, w czym optymalizacja została już przeprowadzona.

Wiem, że istnieje ogromna literatura na temat rozróżnialności stanów kwantowych, i czytałem wiele artykułów w ciągu ostatnich kilku dni, próbując znaleźć odpowiedź na to pytanie, ale mam problem ze znalezieniem odpowiedzi na to pytanie szczególna odmiana problemu. Mam nadzieję, że ktoś, kto lepiej zna literaturę, może mi zaoszczędzić trochę czasu.

Ściśle mówiąc, nie potrzebuję dokładnego prawdopodobieństwa, wystarczyłaby dobra górna granica. Jednak różnica między dowolnym stanem a stanem maksymalnie mieszanym jest dość mała, więc granica musiałaby być przydatna w tym limicie.

— Joe Fitzsimons
źródło

Ponieważ prawdopodobieństwo prawidłowej odpowiedzi jest maksymalną wartością programu półfinałowego, często warto rozważyć wartość podwójną, aby uzyskać górną granicę.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Rzeczywiście, ale zgadywałem, że ten problem został dobrze zbadany i że może być wynik w puszce.

— Joe Fitzsimons,

Czy wiesz, czy analogiczne pytania dla klasycznych rozkładów prawdopodobieństwa mają dobrą odpowiedź? Wspomniany wynik „odległości śledzenia” jest uogólnieniem użycia „odległości statystycznej” (inaczej „całkowitej odległości zmiany”) dla rozkładów klasycznych. [W klasycznym przypadku naturalną strategią jest wybór rozkładu, który najprawdopodobniej wygenerowałby konkretny wynik. Możesz zapisać zamknięty formularz ze względu na prawdopodobieństwo sukcesu, choć nie wiem, czy można go wyrazić w postaci prostej wielkości (takiej jak średnia odległość między rozkładami).]

— Adam Smith

@AdamSmith: Wydaje się klasycznie, że można po prostu zważyć każdą dystrybucję według prawdopodobieństwa jej wystąpienia, a następnie wybrać tę, która najprawdopodobniej da wynik, który zaobserwujesz.

— Joe Fitzsimons,

Jak wspominasz, możliwe jest liczbowe określenie optymalnego średniego prawdopodobieństwa sukcesu, co można skutecznie zrealizować za pomocą programowania półfinałowego (patrz np. Ten artykuł Eldara, Megretskiego i Verghese lub notatki z wykładu Johna Watrousa), ale żadne wyrażenie w formie zamkniętej nie jest znany.

$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$ $\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$ $N=2$

— Ashley Montanaro
źródło

Wspaniale, dzięki Ashley. Dolna granica prawdopodobieństwa błędu pod względem odległości śledzenia jest dokładnie tym, czego szukałem. W rzeczywistości mój plan tworzenia kopii zapasowych, jeśli nie udało mi się uzyskać tutaj dobrej odpowiedzi, polegał na wysłaniu Ci e-maila, ponieważ wiem, że pracowałeś nad tym.

— Joe Fitzsimons,

Czy istnieją jakieś granice, które działają dobrze w granicach prawdopodobieństwa błędu bliskiego 1? Wydaje się, że odległość śledzenia maksymalnie wynosi 1/2. W tej chwili próbuję wierności, ale nie sądzę, że potrafię obliczyć wierność problemu, nad którym pracuję, a granice, które podajesz, wydają się bardzo wrażliwe na błędy addytywne.

— Joe Fitzsimons,

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$