Równania wzorcowe i formularz sumy operatora

12

Jestem bardziej facetem od optyki kwantowej niż facetem od informacji kwantowych i zajmuję się głównie równaniami mistrzowskimi. Interesuje mnie forma sumy operatora i chciałbym wyprowadzić błędy w tej formie dla małego układu kwantowego, który symuluję.

Haczyk: układ kwantowy jest napędzany przez zewnętrzne (klasyczne) pole modelowane funkcją sinusoidalną, a współczynniki tłumienia są niskie, więc nie mogę dokonać aproksymacji fali obrotowej, aby wyeliminować tę zależność czasową. Biorąc pod uwagę, że muszę rozwiązać równanie główne numerycznie za pomocą całkowania, a wynik każdej całkowania w czasie $t$ nie jest wystarczającą informacją do wykrycia tych błędów, i muszę wykonać pewną pracę, aby odzyskać matrycę superoperatora, która działała na wektorze matryca. tzn. zasilam równanie główne wektoryzowaną macierzą gęstości z pojedynczym wpisem 1 i resztą zera, i buduję taką macierz dla określonego czasu . Czy jestem na dobrej drodze (kontrola poczytalności)? Mówiąc dokładniej, jeśli $\tau$ $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ jest wektoryzacją (czyli wektorem kolumny) macierzy gęstości z pojedynczym wpisem 1 w pozycji , przy , która ewoluowała do czasu , a następnie macierzą przyjmującą postać wektorową macierz gęstości od do podano jako . $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Pytanie: Biorąc pod uwagę tego superoperatora $\mathbf{M}$ który wykonuje $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ , w jaki sposób mogę uzyskać operatory Kraussa dla ekwiwalentu operatora, $\mathbf{M}$ który jest w przydatnej formie? tzn. system, o którym mowa, to qubit lub qutrit i inny qubit lub qutrit. Chciałbym być w stanie wykonać sumę operatora w postaci iloczynu tensorowego matryc spinowych na każdym kanale, jeśli to możliwe.

Pytanie poboczne: Czy $\mathbf{M}$ jest matrycą Choi?

Ostatnia uwaga: Przyznałem Pinję przyjęcie, tak jak korzystałem z papieru, który zaproponowała Pinja. Udzieliłem poniżej odpowiedzi, która wypełnia szczegóły.

quantum-information

— qubyte
źródło

Co rozumiesz przez „omawiany system to qubit lub qutrit i inny qubit lub qutrit”. - co to jest „inny system”? Czy mówisz o ancilli potrzebnej do wdrożenia tego kanału za pomocą jednostek unitary + tracing out? W takim przypadku zwróć uwagę, że wymiar ancilla może wynosić do D ^ 2, więc kubity się nie nadadzą.

— Norbert Schuch,

Nie, w tej chwili jest to tylko zabawkowy model składający się z dwóch małych układów kwantowych, które są połączone i mają różne czasy T1 i T2. Odpowiedź na to pytanie nie budzi poważnych obaw. Jest to bardziej interesujące miejsce, ponieważ przydałoby się dowiedzieć się więcej o tym, jak to zrobić w przyszłości.

— qubyte 12.11.11

Czy mogę uzyskać migrację tego pytania do teorii CS zamiast do fizyki?

— kubit

Cóż ... Myślę, że byłoby tu dobrze, ale dobrze.

— David Z

Dzięki. Niestety, po prostu nie jestem wielkim fanem Physics.SE, a poza tym myślę, że pytania QI zorientowane na badania lepiej pasują tutaj (po przekonaniu).

— qubyte

9

Pracowałem nad bardzo podobnym problemem w mojej pracy magisterskiej, w której badałem niemarkowską dynamikę napędzanego kubita w rozpraszającym środowisku. Moim zainteresowaniem było sprawdzenie, czy otrzymane równanie wzorcowe było całkowicie pozytywne, ale to tylko jedna strona twojego problemu. Pytanie okazało się bardzo nietrywialne, jeśli nie stworzono RWA, ale udało mi się uzyskać pewne wyniki za pomocą Ref. [ J Mod. Optować. 54, 1695 (2007) ] i wykorzystując fakt, że kubit jest słabo sprzężony ze środowiskiem. Uderzę w bęben, a także dam Ref. do artykułu, w którym przedstawiam niektóre z tych wyników, [P. Haikka i S. Maniscalco, Phys. Rev A 81, 052103 (2010)] , może ci się przydać.

Ach! Okazuje się, że od kilku dni patrzę na papierowy artykuł Anderssona. Wydaje się to bardzo obiecujące i daje najbardziej konkretny przepis. Lubię mieć metodę na rozwiązywanie problemów. Szczerze mówiąc, muszę znaleźć kawałek czasu, aby naprawdę usiąść i spojrzeć na to. W tej chwili jest to bardziej osobisty projekt.

— qubyte

7

Odniesienia podane w odpowiedzi na mechanikę kwantową jako proces Markowa - w szczególności notatki on-line Carltona Cavesa „ Całkowicie pozytywne mapy, mapy pozytywne i forma Lindblada ” - badają fizyczne pomysły i narzędzia matematyczne, które są pomocne w odpowiedzi na pytanie.

Kluczowa kwestia związana jest z konkretnym pytaniem: „Jak mogę uzyskać operatory Krausa dla ekwiwalentu operatora w odpowiedniej formie?” W przypadku dużych układów kwantowych ogólny superoperator nie będzie miał postaci kompresowalnej algorytmicznie. Co więcej, reprezentacje Krausa nie są unikalne i zgodnie z moją najlepszą wiedzą (nie ekspertową) nie ma procedury, która byłaby zarówno ogólna, jak i skuteczna w znajdowaniu reprezentacji Krausa dla danego które miałyby „użyteczną formę” (według dowolnych kryteriów są podane dla formularza „użytecznego”). To, że decyzyjna separacja kwantowa jest trudna dla NP, sugeruje, że nie istnieje wydajny, ogólny algorytm znajdowania reprezentacji, nawet gdy $M$ $M$ $M$ $M$ jest podane liczbowo w całości.

Aby poczynić postępy, pomocne może być zadawanie heurystycznych pytań: „Co jest szczególnego w moim konkretnym superoperatorze? Czy mogę wyświetlić zestaw generatorów Lindbladian, które mają użyteczne właściwości symetrii i / lub generować kompatybilne przepływy kompresyjne w przestrzeni stanu Hilberta „Czy te właściwości Lindbladana są związane z naturalną podstawą Hilberta, w której ma rzadką, faktorowaną lub w inny sposób kompresowalną algorytmicznie reprezentację?” $M$

Gdyby na takie pytania można było skutecznie odpowiedzieć „obracając korbę algorytmiczną”, fizyka kwantowa byłaby o wiele mniej interesującym przedmiotem! :)

— John Sidles
źródło

Miałem nadzieję, że tak nie jest, ale tak właśnie będzie. Niestety system ma symetrię nadającą się do wykorzystania tylko w przypadku depopulacji bez depopulacji. Istnieje bardzo atrakcyjna forma równania głównego Lindblada, która gromadzi terminy, które nie są formą Kraussa, w niehermitowskim Hamiltoninanie, który w przypadku braku zależności czasowej w Hamiltonianan może być wykorzystany do wyboru podstawy, która w naturalny sposób wyraża rozkład. jak pozostałe warunki Krauss. Schludnie, ale nie ma dla mnie żadnej pomocy.

— qubyte 11.11.11

Jednym z odniesień w notatkach Cavesa jest podział kanałów kwantowych Wolfa i Ciraca (arXiv: math-ph / 0611057), który polecam bez najmniejszej gwarancji osobiście uchwycenia (wielu i subtelnych) kwantowych zagadnień informatycznych omawianych w tym artykule! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

Myślę, że możesz tego szukać: Matryca gęstości rzeczywistej . Daje przepis na konwersję między różnymi reprezentacjami superoperatora (w tym stosowanie bazy Paulensa na podstawie produktu tensorowego). Szczegółowy eksperyment z tomografią procesów kwantowych z wykorzystaniem wyników znajduje się tutaj: Tomografia procesu kwantowego kwantowej transformaty Fouriera . Mówiąc bardziej ogólnie, Havel wyprowadził również tutaj algorytmy do konwersji do minimalnych reprezentacji Krausa: Procedury konwersji między reprezentacjami Lindblada, Krausa i macierzy kwantowych półgrup dynamicznych .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
źródło

To interesujące, może być dokładnie tym, czego szukam ...

— qubyte

Właśnie widziałem twój dodatek. Dziękuję, to jest bardzo przydatne. Pierwotnie wziąłem twoją wersję vec, ale teraz używam kolumn ułożonych w stos. Dziękuję Wikipedii za to. Być może powinienem przyjąć twoją notację dla jasności.

— qubyte

4

Jak zauważyła Pinja, praca Anderssona i in. ( arXiv ) ( DOI ) jest szczególnie użyteczny. Artykuł zawiera wiele szczegółów, a ja w końcu dzisiaj usiadłem, aby dobrze się przyjrzeć. Jako przykładowy problem wybrałem dwa kubity z interakcją wymiany, aby sprawdzić, która jest minimalną wersją tego, co rozważam. Na początek równanie główne podaje

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

Metoda wymaga wyboru podstawowych operatorów systemu. Dogodnie jest podać je w postaci macierzy Pauliego w przypadku dwóch kubitów, ale w przypadku qutritu można zastosować macierze Gell-Manna. Definiowanie $\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

{L.}_{n, m} = T. r [{sol}_{n} Λ ({sol}_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Jeśli mamy do czynienia z równaniem głównym jako macierzą działającą na wektoryzowany operator gęstości, jak omówiono w pytaniu, wówczas można to wyrazić jako

{L.}_{n, m} = v mi do ({sol}_{n})^{†} Λ v mi do ({sol}_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

co pozwala na wyprowadzenie L w jednym równaniu macierzowym, ale to trochę odsuwa się od tematu.

$L$ $F$ $\phi$

fa (t) = \exp (L. t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

{S.}_{za, b} = \sum_{n, m} {fa}_{m, n} T. r [{sol}_{n} {sol}_{za} {sol}_{s} {sol}_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Wreszcie cudowna część.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = {S.}_{n, m} (t) {sol}_{n} ρ_{0} {sol}_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Działa to w przypadku niezależnym od czasu dla wyjść i qutrits zgodnie z oczekiwaniami. Muszę sprawdzić, czy to działa w przypadku zależności czasowej.

— qubyte
źródło