Uniwersalne zestawy bram do SU (3)?

W obliczeniach kwantowych często interesują nas przypadki, w których grupa specjalnych operatorów unitarnych, G, dla jakiegoś systemu d-wymiarowego daje dokładnie całą grupę SU (d), a nawet tylko przybliżenie zapewniane przez gęstą osłonę SU (d).

Grupa skończonego rzędu, taka jak grupa Clifforda dla układu d-wymiarowego C (d), nie zapewni gęstej osłony. Grupa nieskończonego porządku nie zapewni gęstej osłony, jeśli grupa jest abelowa. Jednak moja szorstka intuicja jest taka, że ​​nieskończona liczba bram i operacji zmieniających bazę grupy Clifford powinna wystarczyć, aby zapewnić gęstą osłonę.

Formalnie moje pytanie brzmi:

Mam grupę G, która jest podgrupą SU (d). G ma nieskończony porządek, a C (d) jest podgrupą G. Czy wszystkie takie G zapewniają gęstą osłonę SU (d).

Zwróć uwagę, że jestem szczególnie zainteresowany przypadkiem, gdy d> 2.

Uważam, że grupa Clifford jest taka, jak zdefiniowano tutaj: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

To nie jest pełna odpowiedź, ale może w pewnym stopniu odpowiada na pytanie.

Ponieważ ma nieskończony porządek, ale nie, to koniecznie zawiera bramę grupy spoza Clifforda. Jednak ma jako podgrupę. Ale dla grupa Clifforda i każda inna bramka spoza grupy Clifforda jest w przybliżeniu uniwersalna (patrz np. Twierdzenie 1 tutaj ). Dlatego wszystkie takie zapewniają gęstą osłonę na .C ( d ) G G C ( d ) d = 2 G S U ( 2 n$G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$$G$$SU(2^n)$

W przypadku, gdy wydaje się, że możliwe jest udowodnienie, że nadal otrzymujesz gęstą osłonę według następujących zasad (używając notacji powiązanej z pytaniem):$d>2$

1. Ponieważ wszystkie bramki w są ujednolicone, wszystkie ich wartości własne są pierwiastkami jedności, które dla uproszczenia sparametryzuję rzeczywistymi kątami .0 ≤ θ i < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. Ponieważ ma nieskończony porządek, albo zawiera bramki, dla których co najmniej jedna wartość jest nieracjonalną wielokrotnością lub zawiera dowolnie dobre przybliżenie do takiej irracjonalnej wielokrotności . Oznaczmy jedną z takich bramek .G θ k π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. Następnie istnieje takie, że jest dowolnie blisko, ale nie równa tożsamości.g $n$$g^n$
4. Ponieważ jest jednostkowy, można go zapisać jako . exp ( - i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. Ponieważ grupa Pauli zdefiniowana w quant-ph / 9802007 stanowi podstawę dla macierzy , możesz napisać , gdzie i dla dowolnego (do [3]), z co najmniej jednym takim nie równa zero.H = ∑ d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d α j k ∈ C | α j k | ≤ ϵ ϵ > 0 α a $d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. Następnie możemy wybrać element z grupy Clifford, który odwzorowuje na w koniugacji. Zatem , gdzie to tylko permutacja i .X j d Z k d Z d C g n C † = exp ( - i C H C † ) = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( a , b ) α ′ j k X j d Z k d ) ) $C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$ Α α a b = α ′ $\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. Zauważ, że spełnia . Zdefiniujmy .Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d g ℓ = Z - ℓ d C g n C † Z ℓ d = exp ( - i ( α a b Z d + ∑ ( j , k ) ≠ ( $Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. Zgodnie z twierdzeniem Bakera-Cambela-Hausdorffa, ponieważ wszystkie zostały arbitralnie zbliżone do tożsamości, możemy ocenić iloczyn do pierwszego zamówienia jako . Sumowanie wszystkich tras jedności dla daje . Jest to w zasadzie sekwencja oddzielania który oddziela elementy niepątne.g ′ = g 1 × . . . × g d exp ( - i ( d × ( ∑ k α 0 k Z k ) + ( ∑ d ℓ = 1 ω d ) × ∑ j ≠ 0 ∑ k α j k X j d Z k d ) ) d > 1 $\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. Ponieważ w macierzy wykładniczej pozostają tylko macierze diagonalne, musi być diagonalne. Ponadto ze względu na ograniczenia na koniecznie ma wartości własne, które są niezerowe, ale proporcjonalne do .α ′$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. Zmieniając i powtarzając powyższy proces, powinno być możliwe wygenerowanie liniowo niezależnych bramek: , tak aby ich produkt ukośną bramę z nieracjonalnymi i niewspółmiernymi fazami lub arbitralnie bliskim zbliżeniem do jednego.d g ′ 1 . . . g ' $\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. Na podstawie odniesienia podanego w odpowiedzi Marka Howarda powinno to wystarczyć wraz z grupą Clifford dla przybliżonej uniwersalności.

Uważam, że odpowiedź na pierwotne pytanie jest prawdopodobnie tak, ale niestety nie mogę tego ostatecznie powiedzieć. Mogę jednak pomóc odpowiedzieć na rozszerzone pytanie Petera.

W matematyce / 0001038, autorstwa Nebe, Rains i Sloane, pokazują, że grupa Clifforda jest maksymalną skończoną podgrupą U (2 ^ n). Solovay pokazał to również w niepublikowanej pracy, która „zasadniczo używa klasyfikacji skończonych prostych grup”. The Nebe i in. artykuł pokazuje również, że qudit grupa Clifforda jest maksymalną podgrupą skończoną dla liczby pierwszej p, również przy użyciu klasyfikacji grup skończonych. Oznacza to, że grupa Clifforda i każda brama jest grupą nieskończoną, co czyni jedno z założeń pierwotnego pytania zbędnym.

Teraz zarówno Rains, jak i Solovay powiedzieli mi, że następny krok, pokazujący, że nieskończona grupa zawierająca grupę Clifforda jest uniwersalna, jest stosunkowo prosty. Nie wiem jednak, jak ten krok faktycznie działa. A co ważniejsze w pierwotnym pytaniu, nie wiem, czy rozważali oni tylko sprawę qubit, czy też sprawę qudit.

Właściwie mogę dodać, że nie rozumiem też dowodów Nebe, Deszczów i Sloane, ale chciałbym.

Nie jest dla mnie jasne, czy pytasz o SU (3) czy SU (3 ) działający na iloczyn tensorowy quditów. Zakładam, że pytasz o SU (3). Nie jest dla mnie jasne (pomimo tego, co powiedziałem w poprzedniej wersji mojej odpowiedzi), że instrukcja dla SU (3) implikuje instrukcję dla SU (3 ).$^{n}$$^n$

Tak długo, jak zestaw bram nie leży w podgrupie SU (3), będzie generować gęstą osłonę SU (3). Musisz więc sprawdzić, czy jakaś nieskończona podgrupa SU (3) zawiera grupę Clifford. Jestem całkiem pewien, że nie, ale nie mogę powiedzieć tego na pewno. Oto pytanie o przepełnienie matematyki, które daje wszystkie podgrupy Lie SU (3).

Pomyślałem, że powinienem zaktualizować ten wątek, zanim witryna zostanie na zawsze zamrożona.

Odpowiedź Daniela jest właściwa. Ten „następny krok”, o którym wspomina, pojawia się w późniejszej książce Nebe, Rains i Sloane „ Self-Dual Codes and Invariant Theory ”.

Odpowiedź na to pytanie brzmi zatem „Tak” - i wynika bezpośrednio z Wniosku 6.8.2 w książce Nebe, Rains i Sloane.

Jestem wdzięczny Vadymowi Kliuchnikovowi, który zwrócił mi na to uwagę podczas wizyty w Waterloo.

Myślę, że następujący artykuł może zawierać odpowiednie konstrukcje dla udowodnienia uniwersalności qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

W szczególności komentarz na końcu sekcji mówi, że kontrolowana faza , transformata Fouriera i diagonalna bramka z nieracjonalnymi i niewspółmiernymi fazami dają przybliżoną uniwersalność. (Jest to wystarczający warunek dla ale jestem prawie pewien, że nie jest to warunek konieczny.)C Z F D $4$$CZ$$F$$D$$D$

Jeśli twoje ma prawidłową postać (a ukośne bramy wydają się naturalnym wyborem), wynik ma zastosowanie$G$

Alternatywnym podejściem byłoby utworzenie stanów pomocniczych wymaganych do implementacji Tudoli qudit lub bezpośrednie użycie wraz z Cliffords do implementacji Toffoli. Trudno powiedzieć, czy jest to możliwe, nie wiedząc więcej o .$G$$G$