Liczenie liczby grubych obszarów pokrywających się z kwadratem

Pozwolić $S$być kwadratem jednostkowym. W funkcji$\beta$, jaka jest maksymalna liczba $\beta$-tłuszczowe regiony rozłączne parami o średnicy co najmniej 1, które mogą się przecinać$S$?

Poniżej podajemy liczbę, która to pokazuje $\beta=1$, maksymalna liczba to 7. Po co $\beta = 2, 3, \ldots, n$?

Przywołaj definicję tłuszczu dla regionów w płaszczyźnie. Biorąc pod uwagę region$R$, niech krąży $C_1$ o promieniu $r_1$ być największym kręgiem zawartym w $R$i niech krąży $C_2$ o promieniu $r_2$ być najmniejszym okręgiem, który zawiera $R$. Otłuszczenie od$R$ jest dany przez $\frac{r_2}{r_1}$i my to mówimy $R$ jest $\beta$-tłuszcz, dla $\beta = \frac{r_2}{r_1}$.

Na przykład jeśli $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$, następnie regiony są okręgami jednostkowymi i jest 7 okręgów o średnicy co najmniej 1, które mogą się pokrywać $S$bez nakładania się na siebie. Na poniższym rysunku przedstawiliśmy kwadrat jednostki i 7 kół jednostki, które nachodzą na kwadrat.

Myślę, że maksymalna liczba rozłącznych regionów tłuszczowych, które pokrywają się z kwadratem, powinna być silnie związana z upakowaniem kół.

Najgorszym kształtem dla regionu jest coś w rodzaju „kuli i łańcucha”. Poniżej przedstawiłem taki region$\beta=2$ o średnicy 1

.

i mogą się spakować w odległości 1 od kwadratu jednostkowego, oczywiście o wiele ściślej niż je przedstawiłem.

Zauważ, że rzeczywisty obszar kuli i łańcucha jest zdefiniowany przez zielony obszar, a zewnętrzny okrąg jest jedynie wskazówką, aby zobrazować fakt, że te regiony mają tłuszcz 2. W rzeczywistości część łańcucha regionu może „zgiąć się”, aby pozwolić więcej regionów do spakowania.